【机器学习】QQ-plot深入理解与实现
QQ-plot深入理解与实现
最近在看关于CSI(Channel State Information)相关的论文,发现论文中用到了QQ-plot。Sigh!我承认我是第一次见到这个名词,异常陌生。维基百科给出了如下定义:
“在统计学中,QQ-plot(Q代表分位数Quantile)是一种通过画出分位数来比较两个概率分布的图形方法。首先选定区间长度,点(x,y)对应于第一个分布(x轴)的分位数和第二个分布(y轴)相同的分位数。因此画出的是一条含参数的曲线,参数为区间个数。如果被比较的两个分布比较相似,则其QQ图近似地位于y=x上。如果两个分布线性相关,则QQ图上的点近似地落在一条直线上,但并不一定是y=x这条线。QQ图同样可以用来估计一个分布的位置参数。”
这段话刚开始看的时候,的确不是很清楚,难以理解。我也在网上找了一些资料,最有用的当属网上的一本在线电子书《Online Statistics
Education: An Interactive Multimedia Course of Study》,里面的Chanpter8专门有讲解QQ-plot。本文中主要借鉴了这门书中的内容,以更浅显易懂的语言来讲清楚QQ-plot,我学习的过程中也用Matlab做了一些试验,文中将代码一并附上。
QQ-plot其实是Quantile-Quantile Plot的缩写,Quantile分位现在理解没有关系,看到最后你就会理解它的意思了。QQ-plot的目的是什么呢?是为了验证两组数据的分布是否相同或者相似,因此在实际中很多情况都会用到。为了讲清楚QQ-plot,我们先来介绍另外两种以图形的方式评价数据分布情况的方法:直方图(histogram)和 经验累积分布函数(empirical cumulative distribution
function, eCDF)。
我们考虑一个随机变量X服从[0,1]区间内均匀分布,我们任取n个数据{ x1,x2...,xnx1,x2...,xn }。本例中n=100,直方图频率分布如图1所示。直方图的概率分布与bins的个数有关(bins为10,5,3)。不同的bins对应的图形也不同,图bins=10的时候还呈现锯齿状,但是bins=3的时候就趋于平稳,所以根据直方图来看累积分布不是很靠谱。随后,我们又使用eCDF对数据进行分析,如图2所示。黄色部分即为eCDF与理论CDF的误差,根据大数定理,当n取值越大,误差越小。
图1. 直方图统计
图2. eCDF vs 理论CDF
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data %生成100个再[0,1]均匀分布的随机数 figure subplot(3,1,1); hist(data,10); %bins=10 xlabel( 'x' ); ylabel( 'Frequency' ); subplot(3,1,2); hist(data,5); %bins=5 xlabel( 'x' ); ylabel( 'Frequency' ); subplot(3,1,3); hist(data,3); %bins=3 xlabel( 'x' ); ylabel( 'Frequency' ); theory_y=data; figure [F,X]=ecdf(data); %ECDF plot(X,F, '-k' , 'LineWidth' ,3); hold plot(data,theory_y, '-b' , 'LineWidth' ,3); legend( 'Empirical , 'Theoretical ,2); hold %------两曲线之间填充颜色------- theory_y=sort(theory_y); theory_y=[theory_y(1);theory_y]; %Note:100数据进行ECDF会产生101个数的ECDF坐标,因此为了填充颜色,这里更改theory_y的维数 fill([X ',fliplr(X' )],[theory_y ',fliplr(F' )], 'y' ); xlabel( 'x' ); ylabel( 'F(x)' ); |
好了,到现在开始要说QQ-plot了。我们用如下两个例子来说明:QQ-plot for 平均分布 & QQ-plot for 正态分布。
QQ-plot for 平均分布:
Sample中有n个数据, x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn 。我们首先对数据进行排序,使之满足 x1<x2<...<xnx1<x2<...<xn 。我们将x所在区间[0,1]进行n等分。即变为 [0,1n],(1n,2n],...,(n−1n,1][0,1n],(1n,2n],...,(n−1n,1]n个自区间。为了符合平均分布,我们期望第q个数据的值坐落在第q个子区间的中间值,也就是
现在我们可以理解Quantile-Quantile(q-q) Plot了,第1个Q是Data Sample的分位即 x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn ;第2个Q便是期望 EqEq 。因此QQ-plot其实就是n个点的集合
因此在QQ-plot for平均分布中,当QQ点越接近y=x时,那么数据越接近平均分布。下面我们考虑表1中的5组数据,以及随机生成50个,500个,1000个数据的QQ-plot图,如图3所示。可以看出,当sample size越大,QQ-plot越接近y=x。
表1. Computing the Expected Quantile Values.
Data (x) | Rank (q) |
Middle of the qth Interval |
---|---|---|
0.03 0.24 0.41 0.59 0.67 |
1 2 3 4 5 |
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 |
图3. QQplot for uniform data
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A=[0.03,0.24,0.41,0.59,0.67]; B=unifrnd(0,1,1,50); C=unifrnd(0,1,1,500); D=unifrnd(0,1,1,1000); subplot(2,2,1); gqqplot(A, 'unif' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,2); gqqplot(B, 'unif' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,3); gqqplot(C, 'unif' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,4); gqqplot(D, 'unif' ); title( 'Sample ); |
QQ-plot for 正态分布:
这个就简单了,跟上面是一样的道理。我们取Z为标准的正态分布, μ=0,σ=1μ=0,σ=1 。现将n个数据进行排序,再做出相应的QQ-plot点的集合
同样我们给出了表2,5组正态分布的数据以及其相应的期望值。为了比较,我们也随机产生了n为50,500,1000的正态分布随机数进行QQ-plot,如图4所示。
表2. Computing the expected quantile values for normal data.
Data (z) | Rank (q) |
Middle of the qth Interval |
Normal(q) |
---|---|---|---|
-1.96 -.78 .31 1.15 1.62 |
1 2 3 4 5 |
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 |
-1.28 -0.52 0.00 0.52 1.28 |
图4. QQplot for normal data
代码如下:
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E=[-1.96,-0.78,0.31,1.15,1.62]; F=randn(1,50); G=randn(1,500); H=randn(1,1000); subplot(2,2,1); gqqplot(E, 'norm' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,2); gqqplot(F, 'norm' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,3); gqqplot(G, 'norm' ); title( 'Sample ); subplot(2,2,4); gqqplot(H, 'norm' ); title( 'Sample ); |
好吧,到此为止,讲的差不多了,其实不难的。最后我们再来看一遍维基百科上对QQ-plot的定义:
“在统计学中,QQ-plot(Q代表分位数Quantile)是一种通过画出分位数来比较两个概率分布的图形方法。首先选定区间长度,点(x,y)对应于第一个分布(x轴)的分位数和第二个分布(y轴)相同的分位数。因此画出的是一条含参数的曲线,参数为区间个数。如果被比较的两个分布比较相似,则其QQ图近似地位于y=x上。如果两个分布线性相关,则QQ图上的点近似地落在一条直线上,但并不一定是y=x这条线。QQ图同样可以用来估计一个分布的位置参数。”
Sigh!应该理解了... 关于gqqplot函数的使用,请参考 http://ackjack.com/?p=56
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