[NOI2007]社交网络

Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过 10^10

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4

1 2 1

2 3 1

3 4 1

4 1 1

Sample Output

1.000

1.000

1.000

1.000

HINT

社交网络如下图所示。

对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是 1 。

最短路+任意两点间最短路及其条数

这道题用\(Floyed\)比较方便，先处理出任意两个点之间的最短距离，同时记录两点间最短距离的条数。

\(a[i][j]\)表示从\(i\)走到\(j\)的最短路

\(sum[i][j]\)表示从\(i\)到\(j\)的最短路条数

if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])

a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],sum[i][j]=sum[i][k]*sum[k][j];

else if(a[i][j]==a[i][k]+a[k][j])

sum[i][j]+=sum[i][k]*sum[k][j];

然后直接枚举\(s,t\)，更新其他的点的答案。

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<queue>

#define lll long long

using namespace std;

lll read()

{

	lll x=0,w=1;char ch=getchar();

	while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}

	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();

	return x*w;

}

const int N=110;

int n,m,qwe,x,y,z;

lll a[N][N],sum[N][N];

double ans[N];

int main()

{

	n=read();m=read();memset(a,0x3f,sizeof(a));

	for(int i=1;i<=m;i++)

	{

		x=read();y=read();z=read();

		a[x][y]=a[y][x]=z;sum[x][y]=sum[y][x]=1;

	}

	for(int k=1;k<=n;k++)

	for(int i=1;i<=n;i++)

	{

		if(i==k) continue;

		for(int j=1;j<=n;j++)

		{

			if(j==i||j==k) continue;

			if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])

			a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],sum[i][j]=sum[i][k]*sum[k][j];

			else if(a[i][j]==a[i][k]+a[k][j]) sum[i][j]+=sum[i][k]*sum[k][j];

		}

	}

	for(int i=1;i<=n;i++)

	for(int j=1;j<=n;j++)

	{

		if(i==j) continue;

		for(int k=1;k<=n;k++)

		{

			if(k==i||k==j) continue;

			if(a[i][k]+a[k][j]==a[i][j])

			{

				ans[k]+=sum[i][k]*sum[k][j]*1.000/sum[i][j];

			}

		}

	}

	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf\n",ans[i]);

}

巴特西

[NOI2007]社交网络（最短路）