描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；

对于全部的数据，L <= 10^9。

格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例1

样例输入1[复制]

10

2 3 5

2 3 5 6 7

样例输出1[复制]

2

限制

1s

来源

NOIp2005 第二题

【题解】



很容易想到方程

f[i] =min(f[i-t..i-s]) + 1;(i处有石头)

f[i] =min(f[i-t..i-s]);(i处没有石头)

但是n很大。不能直接写；

需要优化;

->m很小只有100；

则如果n到了极限数据1e9;

那么相邻的石头之间，或者石头和起点和终点直接的距离可能会非常大。

则可以在这里做文章->每次走一大段没石头的长度;

这个长度应该是多少呢？

有这样一个方程

x*p+y*(p+1) = Q

当Q大于等于p*(p-1)的时候;

该方程恒有解；

例如

4 5

则 12,13,14…都可以通过这两种步数得到

即12之后连续的数字都能通过4和5累加得到;

找到了证明:

    •由于p与p+1间隔1,故方程px+(p+1)y=Q有整数解，设其解为

    • x=x0+(p+1)t,y=y0-pt(t是整数)

    •取适当的t，使得0≤x≤p(只需在x0上加上或减去若干个p+1),则当Q>p(p-1)-1时，有

    •（p+1）y=Q-px>p(p-1)-1-px≥p(p-1)-1-p*p=-(p+1)

    •于是y>-1，故y≥0也是非负整数。证毕.

则如果我们发现两个相邻的石头之间的距离大于s*(s-1)+t则直接让其变成s*(s-1)+t就好.

例子:

石头x 1 2 3…1000 1001 1002 石头y

石头y之后的状态往前找前一个状态的时候最多就是1002-t;

不会在往前了；

则如果s*(s-1) +t< 1002

则从s*(s-1)开始的数字都能连续取到了;然后再加上t用来替代原来石头y之后的状态的转移;

这样就变成

石头x 1 2 3.. s*(s-1)+t-t,s*(s-1)+t-(t-1)…s*(s-1)+t 石头y;

石头y以及后面的状态都能够从

s*(s-1)+t-t,s*(s-1)+t-(t-1)…s*(s-1)+t这一段得到转移；

所以不会影响原来的解;

多想想吧。

再换个思路理解下:



从石头x左边t处的石头转移到x处，之后，因为石头x和y之间没有任何石头了。所以这个状态不会变化。而经过s*(s-1)之后就能够把状态传递到y-t了。上面那个方程保证了我们一定能够把x的状态通过有限次的s和s+1这两种步数传递到s*(s-1)(因为我们把这个x和y之间的距离变成了s*(s-1)+t)

然后同理

x+1-t的状态会传递到x+1的位置。然后经过s*(s-1)也能传递到s*(s-1)+1.则y后面的状态也能通过减t得到这个状态。

依次类推。。

重要的在于这些状态在这两个石头之间不会再发生变化了。只是单纯地传递.

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXM = 150;

const int INF = 2100000;

int l, s, t, m;

int pos[MAXM];

int f[10000];

int should[MAXM];

int main()

{

    //freopen("F:\\rush.txt", "r", stdin);

    scanf("%d", &l);

    scanf("%d%d%d", &s, &t, &m);

    for (int i = 1; i <= m; i++)

        scanf("%d", &pos[i]);

    sort(pos + 1, pos + 1 + m);

    if (s == t)

    {

        int ans = 0;

        for (int i = 1; i <= m; i++)

            if (!(pos[i] % s))

                ans++;

        printf("%d\n", ans);

    }

    else

    {

        int MOD = s*(s - 1) + t;

        for (int i = 1; i <= m; i++)

        {

            should[i] = pos[i] - pos[i - 1];

            if (should[i] > MOD)

                should[i] = MOD;

        }

        int temp1 = l - pos[m];

        if (temp1 > MOD)

            temp1 = MOD;

        for (int i = 1; i <= m; i++)

            pos[i] = pos[i - 1] + should[i];

        int maxl = pos[m] + temp1;

        for (int i = 1; i <= m; i++)

            f[pos[i]] = 1;

        for (int i = 1; i <= maxl; i++)

        {

            int mi = INF;

            for (int j = s; j <= t; j++)

                if (i - j >= 0)

                    mi = min(mi, f[i - j]);

            f[i] += mi;

        }

        int ans = f[maxl];

        for (int i = maxl + 1; i <= maxl + t; i++)

        {

            int mi = INF;

            for (int j = s; j <= t; j++)

                if ((i - j >= 0) && (i - j) < maxl)

                    mi = min(mi, f[i - j]);

            if (ans > mi)

                ans = mi;

        }

        printf("%d\n", ans);

    }

    return 0;

}