【BZOJ4071】【APIO2015】巴邻旁之桥
2024-08-31 11:52:31
题意:
Description
一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二,分割成了区域 A 和区域 B。
每一块区域沿着河岸都建了恰好 1000000001 栋的建筑,每条岸边的建筑都从 0 编号到 1000000000。相邻的每对建筑相隔 1 个单位距离,河的宽度也是 1 个单位长度。区域 A 中的 i 号建筑物恰好与区域 B 中的 i 号建筑物隔河相对。
城市中有 N 个居民。第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上,同时他的办公室坐落在 Qi 区域的 Ti 号建筑上。一个居民的房子和办公室可能分布在河的两岸,这样他就必须要搭乘船只才能从家中去往办公室,这种情况让很多人都觉得不方便。为了使居民们可以开车去工作,政府决定建造不超过 K 座横跨河流的大桥。
由于技术上的原因,每一座桥必须刚好连接河的两岸,桥梁必须严格垂直于河流,并且桥与桥之间不能相交。当政府建造最多 K 座桥之后,设 Di 表示第 i 个居民此时开车从家里到办公室的最短距离。请帮助政府建造桥梁,使得 D1+D2+⋯+DN 最小。
所有数据都保证:Pi 和 Qi 为字符 “A” 和 “B” 中的一个, 0≤Si,Ti≤1000000000 ,同一栋建筑内可能有超过 1 间房子或办公室(或二者的组合,即房子或办公室的数量同时大于等于 1)。
子任务 1 (8 分)K=1,1≤N≤1000
子任务 2 (14 分)K=1,1≤N≤100000
子任务 3 (9 分)K=2,1≤N≤100
子任务 4 (32 分)K=2,1≤N≤1000
子任务 5 (37 分)K=2,1≤N≤100000
子任务 1 (8 分)K=1,1≤N≤1000
子任务 2 (14 分)K=1,1≤N≤100000
子任务 3 (9 分)K=2,1≤N≤100
子任务 4 (32 分)K=2,1≤N≤1000
子任务 5 (37 分)K=2,1≤N≤100000
Input
输入的第一行包含两个正整数 K 和 N,分别表示桥的上限数量和居民的数量。
接下来 N 行,每一行包含四个参数:Pi,Si,Qi 和 Ti,表示第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上,且他的办公室位于 Qi 区域的 Ti 号建筑上。
Output
输出仅为一行,包含一个整数,表示 D1+D2+⋯+DN 的最小值。
题解:
首先,这题可以三分!可以三分!可以三分!
认(sui)真(bian)分(cai)析(xiang)一下可以发现,$K=1$时总花费时间随桥从左到右变化的函数是个单峰函数,$K=2$时是两个单峰函数通过某种变换之后叠加在一起,最后还是个单峰函数(然而我并不会证)
因此可以先三分第一个桥,再三分第二个桥,三分套三分的时间复杂度是$O(nlog^210^9)$的,手算大概有2.5亿,实测可以过掉前四个subtask,获得63分的好成绩(雾)
正解是权值线段树动态维护中位数。。。
$K=1$就不说了,大家都会。。。
$K=2$时有一个结论:每个人必定会走更接近$\frac{A_i+B_i}{2}$的那座桥,易得这样必定更优;
所以可以先按照$A_i+B_i$排序,左半边的人就会走左桥,右半边就走右桥;
然后就没了。。。左右各写一个数据结构,支持快速插入/删除,快速查询中位数和区间和,可以直接splay,也可以用权值线段树黑科技来做(新技能get√)
ps:所谓的黑科技就是,左右儿子哪个size大就走哪个,最后的叶节点就是中位数。。。
代码:
三分:(请木公爷来卡常啊啊啊)
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define inf 10000000000000000
#define eps 1e-9
using namespace std;
typedef long long ll;
struct pp{
ll s1,s2,t1,t2;
}p[];
ll n,K,ans=inf,l,r,maxn=;
char sd1[],sd2[];
ll gaogao(ll k,ll kk){
ll ret=;
for(ll i=;i<=n;i++){
if(p[i].s1==p[i].s2)ret+=abs(p[i].t1-p[i].t2);
else ret+=min(abs(p[i].t1-k)+abs(p[i].t2-k)+,abs(p[i].t1-kk)+abs(p[i].t2-kk)+);
}
return ret;
}
ll gao(ll k){
if(K==){
ll ret=;
for(ll i=;i<=n;i++){
if(p[i].s1==p[i].s2)ret+=abs(p[i].t1-p[i].t2);
else ret+=abs(p[i].t1-k)+abs(p[i].t2-k)+;
}
return ret;
}
ll ret=inf,l=,r=maxn;
while(l+<=r){
ll mid=l+(r-l)/,mmid=r-(r-l)/;
if(gaogao(k,mid)<=gaogao(k,mmid))r=mmid;
else l=mid;
}
for(ll i=l;i<=r;i++){
ret=min(ret,gaogao(k,i));
}
return ret;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&K,&n);
for(ll i=;i<=n;i++){
scanf("%s%lld%s%lld",sd1,&p[i].t1,sd2,&p[i].t2);
p[i].s1=sd1[]-'A';
p[i].s2=sd2[]-'A';
maxn=max(maxn,max(p[i].t1,p[i].t2));
}
l=,r=maxn;
while(l+<=r){
ll mid=l+(r-l)/,mmid=r-(r-l)/;
if(gao(mid)<=gao(mmid))r=mmid;
else l=mid;
}
for(ll i=l;i<=r;i++){
ans=min(ans,gao(i));
}
printf("%lld",ans);
return ;
}
权值线段树:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define inf 1000000000000000
#define eps 1e-9
using namespace std;
typedef long long ll;
struct pp{
ll t1,t2;
friend bool operator <(pp a,pp b){
return a.t1+a.t2<b.t1+b.t2;
}
}p[];
struct node{
ll v,siz;
}t[][];
ll n,k,t1,t2,x1,x2,x3,x4,m1,m2,nw1=,nw2=,els=,sum=,cnt=,ans=inf,num[];
char s1[],s2[];
void updata(ll l,ll r,ll u,ll p,ll x,ll ch){
t[u][ch].siz+=x;
t[u][ch].v+=x*num[p];
if(l==r)return;
ll mid=(l+r)/;
if(p<=mid)updata(l,mid,u*,p,x,ch);
else updata(mid+,r,u*+,p,x,ch);
}
ll get(ll l,ll r,ll u,ll x,ll ch){
if(l==r)return l;
ll mid=(l+r)/;
if(x<=t[u*][ch].siz)return get(l,mid,u*,x,ch);
else return get(mid+,r,u*+,x-t[u*][ch].siz,ch);
}
ll query(ll l,ll r,ll u,ll L,ll R,ll ch,ll xx){
if(L<=l&&r<=R){
return xx?t[u][ch].v:t[u][ch].siz;
}
ll mid=(l+r)/,ret=;
if(L<=mid)ret+=query(l,mid,u*,L,R,ch,xx);
if(mid<R)ret+=query(mid+,r,u*+,L,R,ch,xx);
return ret;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&k,&n);
if(k==){
for(ll i=;i<=n;i++){
scanf("%s%lld%s%lld",s1,&t1,s2,&t2);
if(s1[]==s2[])els+=abs(t1-t2);
else{
num[++cnt]=t1;
num[++cnt]=t2;
}
}
ans=els+cnt/;
sort(num+,num+cnt+);
for(ll i=;i<=cnt;i++){
ans+=abs(num[i]-num[cnt/]);
}
printf("%lld",ans);
}else{
for(ll i=;i<=n;i++){
scanf("%s%lld%s%lld",s1,&t1,s2,&t2);
if(s1[]==s2[])els+=abs(t1-t2);
else{
num[++cnt]=t1;
num[++cnt]=t2;
p[++sum].t1=t1;
p[sum].t2=t2;
}
}
if(!sum)return printf("%lld\n",els),;
els+=sum;
sort(num+,num+cnt+);
cnt=unique(num+,num+cnt+)-num-;
sort(p+,p+sum+);
for(ll i=;i<=sum;i++){
nw1+=p[i].t1+p[i].t2;
p[i].t1=lower_bound(num+,num+cnt+,p[i].t1)-num;
p[i].t2=lower_bound(num+,num+cnt+,p[i].t2)-num;
updata(,cnt,,p[i].t1,,);
updata(,cnt,,p[i].t2,,);
}
for(ll i=;i<=sum;i++){
nw2+=num[p[i].t1]+num[p[i].t2];
nw1-=num[p[i].t1]+num[p[i].t2];
updata(,cnt,,p[i].t1,,);
updata(,cnt,,p[i].t1,-,);
updata(,cnt,,p[i].t2,,);
updata(,cnt,,p[i].t2,-,);
m1=get(,cnt,,i,);
m2=get(,cnt,,sum-i,);
x1=query(,cnt,,,m1,,);
x2=query(,cnt,,,m2,,);
x3=query(,cnt,,,m1,,);
x4=query(,cnt,,,m2,,);
ans=min(ans,x3*num[m1]-x1+(nw2-x1)-(i*-x3)*num[m1]+x4*num[m2]-x2+(nw1-x2)-((sum-i)*-x4)*num[m2]);
}
printf("%lld",ans+els);
}
return ;
}
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