笔试算法题（38）：并查集（Union-Find Sets）

议题：并查集（Union-Find Sets）

分析：

一种树型数据结构，用于处理不相交集合（Disjoint Sets）的合并以及查询；一开始让所有元素独立成树，也就是只有根节点的树；然后根据需要将关联的元素（树）进行合并；合并的方式仅仅是将一棵树最原始的节点的父亲索引指向另一棵树；
优化：加入一个rank数组存储节点深度的下界（从当前节点到其最远子节点的距离），从而可以启发式的对树进行合并，从而减少树的深度，防止树的退化；使得包含较少节点的树根指向包含较多节点的树根，具体指代为树的高度；另一个优化就是路径压缩，尽可能将子节点都直接连接到根节点之后；
并查集的空间复杂度为O(N)，构建一个集合的时间复杂度为O(N)；压缩后的查找复杂度是一个很小的常数；应用：Kruskal算法求最小生成树中判断新加入的边是否在同一棵树内部；两个节点的最近公共祖先(Least Common Ancestors)；
初始化father：各个节点独立成树，并且其father[i]=i，也就是其父节点就是其自身；

father[i]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

初始化rank：各个节点为根节点，所以高度都为1；
rank[i]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

合并2和6：由于rank[2]=rank[6]，所以将2的父亲索引指向6，这样2和6就在同一棵树；并需将6的rank值增加1；
father[i]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 3 4 5 6 7 8 9
rank[i]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

样例：

 int *father;

 int *rank;

 /**

  * 并查集的初始化：

  * 数组father中的元素在最开始ide时候都是独立的树，也就是只有根节点

  * 的树，数组father的下标i表示节点，而father[i]的值表示i节点的父亲

  * 节点；rank[i]=1表示一开始所有树节点的高度都为1

  * */

 void init(int cap) {

         father=new int[cap];

         rank=new int[cap];

         /**

          * 时间复杂度为O(N)

          * */

         for(int i=;i<;i++) {

                 father[i]=i;

                 rank[i]=;

         }

 }

 void clean() {

         delete [] father;

         delete [] rank;

 }

 /**

  * 查找元素所在的集合并进行路劲压缩：

  * 由于需要频繁使用GetFather（）函数，并且其时间复杂度受树结构影响；

  * 当元素较多的时候，集合退化成链表，则GetFather()需要O(N)，所以

  * 需要对其进行优化，每次调用GetFather（）的时候都将输入元素压缩成

  * 最原始父亲节点的直接子节点

  * */

 int GetFather(int son) {

         if(father[son]==son)

                 return son;

         else {

                 father[son]=GetFather(father[son]);

                 return father[son];

         }

 }

 /**

  * 合并两个不相交的集合:

  * 输入元素x和y来自两个不相交的集合，找到其最原始的父亲节点

  * 并将一个原始父亲节点设置为另一个原始父亲节点的父亲节点

  * */

 void Union1(int x, int y) {

         /**

          * GetFather()为递归寻找输入节点的最原始的父亲节点

          * */

         int fx=GetFather(x);

         int fy=GetFather(y);

         /**

          * 判断x和y是否来自同一棵树，如果不是才进行赋值；其实可以

          * 不同进行判断（省去if语句）

          * 注意最原始父亲节点的father[i]=i;

          * */

         if(fx!=fy)

                 father[fx]=fy;

 }

 /**

  * 利用rank加权数组启发式进行合并

  * */

 void Union2(int x, int y) {

         int fx=GetFather(x);

         int fy=GetFather(y);

         if(fx==fy) return;

         /**

          * rank[fx]较大，说明其越靠近根节点，则将

          * fy连接到其后面可以压缩路径

          * */

         if(rank[fx]>rank[fy])

                 father[fy]=fx;

         else {

                 if(rank[fx]==rank[fy])

                         rank[fy]++;

                 father[fx]=fy;

         }

 }

 /**

  * 判断两个元素是否属于同一个集合：

  * 利用GetFather（）函数判断其最原始父亲节点是否相同

  * */

 bool IsSameSet(int x, int y) {

         return GetFather(x)==GetFather(y);

 }

巴特西

笔试算法题（38）：并查集（Union-Find Sets）

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