Tarjan 连通性
2024-09-08 16:57:38
Tarjan 连通性
Tarjan 爷爷的代表作，图的连通性问题直接解决
两个核心数组：
- \(dfn_u\)：\(u\) 的 dfs 序
- \(low_u\)：\(u\) 及 \(u\) 的后代通过返祖边能回到的最小的 \(dfn\)
四种边
- 树边：dfs 搜索树中的边
- 返祖边：若在搜索树中， \(i\) 是 \(j\) 的祖先，则原图中从 \(j\) 到 \(i\) 的边是返祖边
- 前向边：若在搜索树中， \(i\) 是 \(j\) 的后代，则原图中从 \(j\) 到 \(i\) 的边是前向边
- 交叉边：若在搜索树中， \(i\) 和 \(j\) 不在同一子树，则从 \(i\) 到 \(j\) 的边是交叉边
前向边、交叉边只存在于有向图
核心代码
int dfn[N],low[N],clk;
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(这是返祖边)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
int main() {
// Input ....
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])tarjan(i,-1);
}
无向图
无向图的操作与连通分量有关
- 连通分量：无向图的极大连通子图
割点
定义：删去一个点使得图中联通分量增加，该点叫做割点
求法：如果 \(u\) 存在一个儿子 \(v\) 且 \(low_v\ge dfn_u\)
说明删去 \(u\) 后 \(v\) 不能通过返祖边连回 \(u\) 的祖先， \(u\) 是割点
特判：如果 \(u\) 是搜索树的根且只有 1 个儿子，则 \(u\) 不是割点
割边（桥）
定义：删去一条边使得图中联通分量增加，该点叫做割边（桥）
求法：如果对于一条边 \((u,v)\) 且 \(low_v>dfn_u\)
说明删去该边后 \(v\) 不能通过返祖边连回 \(u\) 及 \(u\) 的祖先，该边是割边（桥）
割点 & 桥 的实现
int cut[N],br[M<<1];
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
register int ch=0;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
++ch;
tarjan(v,u);
if(low[v]>=dfn[u])cut[u]=1;
if(low[v]>dfn[u])br[i]=br[i^1]=1;
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(v^fa)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(fa==-1 && ch==1)cut[u]=0;
}
点双连通分量
定义：无向图的极大无割点子图 ，简称点双
求法：一个点（如割点）可能在多个点双中，而一条边只能在一个点双中
考虑用栈存下边，当 \(u\) 是割点时，一直弹栈直到弹出边 \((u,v)\)，弹出的边组成点双
vector<int>bs[N];
int id[N],tot;
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
for(int i=lst[u],v,nw;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
s[++top]=i;
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=dfn[u]) {
tot++;
while(1) {
nw=s[top--];
if(id[to[nw]]!=tot)
id[to[nw]]=tot,bs[tot].pb(to[nw]);
if(id[to[nw^1]]!=tot)
id[to[nw^1]]=tot,bs[tot].pb(to[nw^1]);
if(to[nw]==v && to[nw^1]==u)break;
}
}
} else if(v!=fa && dfn[v]<dfn[u]) {
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
s[++top]=i;
}
}
}
边双连通分量
- 定义：无向图的极大无桥子图，简称边双
- 求法：可用点双的思想，把点压栈，然后遇到桥弹点到弹出 \(u\) ，弹出的点组成边双
- 求法 2：更简单。第一次 \(dfs\) 求出桥，第二次 \(dfs\) 打标记，遇到桥就编号加 1 ，编号相同的点构成边双
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
++ch;
tarjan(v,u);
if(low[v]>dfn[u])br[i]=br[i^1]=1;
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(v^fa)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
int tot;
void dfs(int u,int fa,int nw) {
cl[u]=nw;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i])
if((v=to[i])^fa) {
if(br[i])++tot,dfs(v,u,tot);
else dfs(v,u,nw);
}
}
有向图
强连通分量
有向图中 tarjan 用于求强连通分量
- 强连通图：一个任意两点都可以相互到达的有向图
- 强连通分量：一个有向图的极大的强连通子图
求法：将点入栈，遇到 \(dfn_u=low_u\) 时就弹栈顶直到弹出 \(u\) ，弹出的点在一个强连通分量
当 \(low_u<dfn_u\) 时说明强连通分量还可以扩大，所以只能 \(dfn_u=low_u\)
int sz[N],cl[N],tot;
void tarjan(int u) {
dfn[u]=low[u]=++clk,s[++top]=u;
for(int i=lst1[u],v;i;i=nxt1[i]) {
if(!dfn[v=to1[i]]) {
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(!cl[v]) {
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]) {
++tot,sz[tot]=1;
while(s[top]!=u)
++sz[tot],cl[s[top]]=tot,--top;
cl[u]=tot,--top;
}
}
缩点
作用：将强连通分量看成一个点，可以将原图缩成一个 DAG
可以用于方便地做 dp
做法：求强连通分量给点染色，然后枚举一个每条边 \((u,v)\)
如果 \(color_u\ne color_v\) 就从 \(color_u\) 向 \(color_v\) 连边
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=lst[i];j;j=nxt[j])
if(cl[i]!=cl[to[j]])
Ae2(cl[i],cl[to[j]]);
例
缩点后一定是树，在 \(\text{dfs}\) 序上 dp
设 \(f_{i, j}\) 为做到了 \(dfs\) 序为 \(i\) 的点用了空间为 \(j\) 的最大价值
设 \(\text{dfs}\) 序为 \(i\) 的点是 \(u\) 。\(w\) 是所用空间，\(v\) 是价值
刷表，对于 \(i\) 选或不选讨论
\(f_{i+1,j+w_u} = \max(f_{i,j}+v_i)\)
\(f_{i+sz_u,j}=\max(f_{i,j})\)
处理依赖：从根到该点路径上（不包括该店）的 \(w\) 之和为必须要的空间
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 105;
int n, m, a[N], Ecnt1, lst1[N], b[N], clk;
int dfn[N], st[N], top, cl[N], low[N], tot;
int w[N], v[N], lst2[N], Ecnt2;
int rk[N], sz[N], pre[N], rd[N], f[N][505];
struct Ed { int to, nxt; } e1[N], e2[N];
inline void cmx(int &x, int y) { x < y ? x = y : 1; }
inline void Ae1(int fr, int go) { e1[++Ecnt1] = (Ed){ go, lst1[fr] }, lst1[fr] = Ecnt1; }
inline void Ae2(int fr, int go) { e2[++Ecnt2] = (Ed){ go, lst2[fr] }, lst2[fr] = Ecnt2; }
void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++clk, st[++top] = u;
for (int i = lst1[u], v; i; i = e1[i].nxt) {
if (!dfn[v = e1[i].to]) {
tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (!cl[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if (low[u] == dfn[u]) {
register int o;
++tot;
while (st[top] ^ u)
o = st[top--], cl[o] = tot, w[tot] += a[o], v[tot] += b[o];
cl[u] = tot, w[tot] += a[u], v[tot] += b[u], --top;
}
}
void dfs(int u) {
rk[++clk] = u, sz[u] = 1;
for (int i = lst2[u], v; i; i = e2[i].nxt)
pre[v = e2[i].to] = pre[u] + w[u], dfs(v), sz[u] += sz[v];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
for (int i = 1, u; i <= n; i++) {
scanf("%d", &u);
if (u) Ae1(u, i);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = lst1[i], v; j; j = e1[j].nxt)
if (cl[i] ^ cl[v = e1[j].to]) ++rd[cl[v]], Ae2(cl[i], cl[v]);
for (int i = 1; i <= tot; i++) if (!rd[i]) Ae2(0, i);
clk = 0, dfs(0);
for (int i = 1, u; i <= clk; i++) {
u = rk[i];
for (int j = pre[u]; j <= m; j++) {
if (j + w[u] <= m) cmx(f[i + 1][j + w[u]], f[i][j] + v[u]);
cmx(f[i + sz[u]][j], f[i][j]);
}
}
printf("%d", f[clk + 1][m]);
}
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