ARC106E-Medals【hall定理,高维前缀和】
2024-09-05 22:53:16
正题
题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc106/tasks/arc106_e
题目大意
\(n\)个员工,第\(i\)个在\([1,A_i]\)工作,\([A_i+1,2\times A_{i}]\)休息,\([2\times A_i+1,3\times A_i]\)工作...以此类推。
然后每天可以为一个在工作的人发一枚奖牌,至少多少天才能让每个人都有\(k\)块奖牌。
\(1\leq n\leq 18,1\leq k,A_i\leq 10^5\)
解题思路
首先答案上限显然是\(2\times n\times 10^5\)(就是每个人轮流发)
然后考虑一个暴力的做法。先二分,然后把每天看做一个右边的点,每个员工看做\(k\)个左边的点,然后一个员工干活的天就连边,之后暴力跑网络流。
这样显然会\(T\)但是这是一个正解的启示。
首先我们先拓宽一下\(hall\)定理,原来是\(2\times k\)个点的二分图匹配左边任意\(k\)个点都和右边至少\(k\)个点匹配是这张图有完全匹配的充要条件,但是不难发现如果右边多加了几个点显然还是满足条件的。
所以上面那个可以理解为左边任意\(k\)个点都和右边至少有\(k\)条连边,然后不难发现段其实只有\(2^n\)种不同的,所以我们直接二分一个答案然后设\(f_s\)表示包含集合\(s\)的段匹配了多少个点。
如果\(f_s<|s|\times k\)就无解了,然后\(f_s\)要用高维前缀和或者\(FWT\)做就好了。
时间复杂度\(O(2^nn\log nk)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18;
ll n,k,a[N],bit[1<<N],f[1<<N],s[N*200000];
bool check(ll t){
ll MS=(1<<n);
memset(f,0,sizeof(f));
for(ll i=1;i<=t;i++)
f[MS-1]++,f[s[i]^(MS-1)]--;
for(ll i=0;i<n;i++)
for(ll j=0;j<MS;j++)
if(j&(1<<i))f[j^(1<<i)]+=f[j];
for(ll i=0;i<MS;i++)
if(f[i]<bit[i]*k)
return 0;
return 1;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(ll i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
ll MS=(1<<n),L=2*n*1e5;
for(ll i=1;i<MS;i++)bit[i]=bit[i-(i&-i)]+1;
for(ll i=1;i<=L;i++)
for(ll j=0;j<n;j++)
if((i-1)%(a[j]<<1)<a[j])
s[i]|=(1<<j);
ll l=1,r=L;
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid))r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%lld\n",l);
return 0;
}
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