0016：单源最短路径（dijkstra算法）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4779

题目描述：给定一个 n 个点，m 条有向边的带非负权图，计算从 s 出发，到每个点的距离。

这道题就是一个单源最短路径的模板，有两种做法：

1.Floyd算法

暴力枚举出所有起点、终点以及中间值，然后算出每两个点间的最小值。

但这个算法时间复杂度较高，是O（n^3），很容易爆掉，在这道题甚至拿不到分。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>

 2 using namespace std;

 3 int arr[10000][10000];

 4 int main(){

 5     int n,m,s,i,j,k,a,b,c;

 6     cin>>n>>m>>s;

 7     for(i=1;i<=n;i++){

 8         for(j=1;j<=n;j++){

 9             if(i==j){

10                 arr[i][j]=0;

11             }else{

12                 arr[i][j]=99999999;

13             }

14         }

15     }

16     while(m--){

17         cin>>a>>b>>c;

18         arr[a][b]=min(c,arr[a][b]);

19     }

20     for(k=1;k<=n;k++){

21         for(i=1;i<=n;i++){

22             if(i==k||arr[i][k]==99999999){

23                 continue;

24             }

25             for(j=1;j<=n;j++){

26                 arr[i][j]=min(arr[i][j],arr[i][k]+arr[k][j]);

27             }

28         }

29     }

30     for(i=1;i<=n;i++){

31         cout<<arr[s][i]<<" ";

32     }

33 }

这道题我们要用一种更高级的算法——

2.dijkstra算法

在无负权边的情况下，时间复杂度为 O（n log n）基本可以顺利通过所有模板题。

先确定初始点到其他所有点的路径（可能为无穷），然后从和该点距离最小点开始遍历，不断更新这些点与初始点的最小距离（学术名叫松弛），最后求出初始点与所有其他点的最短路。

然后要通过此题，还需要前向星存边和优先队列（堆）优化，可能比较难理解，自己画图模拟即可。

上代码（有注释）：

 1 #include<bits/stdc++.h>

 2 using namespace std;

 3 long long vis[100001]={0},head[100001],dis[100001],cnt,n,m,s,a,b,c;

 4 long long INF=2147483647;//2的31次方，可以看做无穷

 5 struct Q{

 6     int a,b,c,next;

 7 };//邻接表，在有向图中存储起点、终点权值，next用来前向星存边

 8 struct node{//放进优先队列中的结构体

 9     int w,now;//w为最短路，now为点

10     bool operator <(const node &x)const{

11         return w>x.w;//权值从大到小排

12     }

13 };

14 priority_queue<node> q;//优先队列

15 Q e[500001];

16 void add(int a,int b,int c){//前向星存边

17     e[cnt++].a=a;

18     e[cnt].b=b;

19     e[cnt].c=c;

20     e[cnt].next=head[a];//next存储上一个cnt值，方便for循环从后往前遍历边

21     head[a]=cnt;

22 }

23 void dijkstra(){

24     for(int i=1;i<=n;i++){

25         dis[i]=INF;

26     }

27     dis[s]=0;

28     q.push((node){0,s});//将起点压入队列

29     while(!q.empty()){//队列非空

30         node x=q.top();//弹出堆顶（最小）元素

31         q.pop();

32         int u=x.now;

33         if(vis[u]==1){

34             continue;//遍历完无需再遍历

35         }

36         vis[u]=1;

37         for(int i=head[u];i;i=e[i].next){//用前向星遍历

38             int v=e[i].b;

39             dis[v]=min(dis[v],dis[u]+e[i].c);//松弛操作

40             q.push((node){dis[v],v});

41         }

42     }

43 }

44 int main(){

45     cin>>n>>m>>s;

46     for(int i=0;i<m;i++){

47         cin>>a>>b>>c;

48         add(a,b,c);

49     }

50     dijkstra();

51     for(int i=1;i<=n;i++){

52         cout<<dis[i]<<" ";

53     }

54 }

巴特西

0016：单源最短路径（dijkstra算法）

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