旋转卡壳（求凸包直径）学习笔记 | 题解 P1452 [USACO03FALL]Beauty Contest G /【模板】旋转卡壳

前言

旋转卡壳（Rotating Calipers）可以在凸包上维护许多有用的信息，最常见的就是凸包直径（平面最远点对）。

注意：本文不介绍所谓的 “人类智慧” 乱搞做法。

算法流程

首先我们需要求出点集的凸包（我个人喜欢 Andrew 算法）。

然后我们考虑选定凸包的一条边所在的直线，比如 \(AB\)。然后找到凸包的所有顶点中离它最远的点，在这个例子中是 \(D\)。然后凸包直径就可能是 \(AD\) 或 \(BD\)。

然后我们继续。逆时针选择下一条边 \(AE\)，这时我们发现最远点变成了 \(C\)，然后尝试用 \(AC,EC\) 更新答案。以此类推。这样我们就找到了凸包直径。

但是这样子时间复杂度是 \(O(n^2)\) 的，应该无法通过。

但是根据以前的经验，似乎最远点也是逆时针旋转的。换句话说，逆时针遍历的点到直线的距离单调。

这也可以用凸包的凸性来解释。我无法给出详细证明，但是大家不妨手动画几个图，就可以感性的理解了。

于是我们就可以用一个漂亮的双指针解决了。

P145 【模板】旋转卡壳代码

注意本题需要输出凸包直径的平方。

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

int n;

const double eps=1e-9;

int dcmp(double x){

    return (fabs(x)<=eps)?0:(x<0?-1:1);

}

struct Point{

    double x,y;

    Point(double X=0,double Y=0){x=X,y=Y;}

};

struct Vector{

    double x,y;

    Vector(double X=0,double Y=0){x=X,y=Y;}

};

inline Vector operator-(Point x,Point y){// 点-点=向量

    return Vector(x.x-y.x,x.y-y.y);

}

inline double cross(Vector x,Vector y){ // 向量叉积

    return x.x*y.y-x.y*y.x;

}

inline double operator*(Vector x,Vector y){ // 向量叉积

    return cross(x,y);

}

inline double len(Vector x){ // 向量模长

    return sqrt(x.x*x.x+x.y*x.y);

}

int stk[50005];

bool used[50005];

vector<Point> ConvexHull(Point* poly, int n){ // Andrew算法求凸包

    int top=0;

    sort(poly+1,poly+n+1,[&](Point x,Point y){

        return (x.x==y.x)?(x.y<y.y):(x.x<y.x);

    });

    stk[++top]=1;

    for(int i=2;i<=n;i++){

        while(top>1&&dcmp((poly[stk[top]]-poly[stk[top-1]])*(poly[i]-poly[stk[top]]))<=0){

            used[stk[top--]]=0;

        }

        used[i]=1;

        stk[++top]=i;

    }

    int tmp=top;

    for(int i=n-1;i;i--){

        if(used[i]) continue;

        while(top>tmp&&dcmp((poly[stk[top]]-poly[stk[top-1]])*(poly[i]-poly[stk[top]]))<=0){

            used[stk[top--]]=0;

        }

        used[i]=1;

        stk[++top]=i;

    }

    vector<Point> a;

    for(int i=1;i<=top;i++){

        a.push_back(poly[stk[i]]);

    }

    return a;

}

struct Line{

    Point x;Vector y;

    Line(Point X,Vector Y){x=X,y=Y;}

    Line(Point X,Point Y){x=X,y=Y-X;}

};

inline double DistanceToLine(Point P,Line x){// 点到直线的距离

    Vector v1=x.y, v2=P-x.x;

    return fabs(cross(v1,v2))/len(v1);

}

double RoatingCalipers(vector<Point> poly){// 旋转卡壳

    if(poly.size()==3) return len(poly[1]-poly[0]);

    int cur=0;

    double ans=0;

    for(int i=0;i<poly.size()-1;i++){

        Line line(poly[i],poly[i+1]);

        while(DistanceToLine(poly[cur], line) <= DistanceToLine(poly[(cur+1)%poly.size()], line)){

            cur=(cur+1)%poly.size();

        }

        ans=max(ans, max(len(poly[i]-poly[cur]), len(poly[i+1]-poly[cur])));

    }

    return ans;

}

Point poly[50005];

signed main(){

    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>poly[i].x>>poly[i].y;

    double v=RoatingCalipers(ConvexHull(poly, n));

    cout<<(int)(v*v);

    return 0;

}

巴特西

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