线段树学习笔记（基础&进阶）（一） | P3372 【模板】线段树 1 题解

什么是线段树

线段树是一棵二叉树，每个结点存储需维护的信息，一般用于处理区间最值、区间和等问题。

线段树的用处

对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是 O(log n)。

基础线段树（+ 懒标记）

为什么不写没有懒标记的版本？

因为我太菜的不会写因为有懒标记的版本更实用啦。

P3372 【模板】线段树 1

这是一道线段树区间修改，区间查询的模板题，维护的是区间和。

1. 建树

void build(int rt, int L, int R) {

	l[rt] = L, r[rt] = R;

	if (L == R) {

		sum[rt] = a[L];

		return ;

	}

	int mid = L + R >> 1;

	build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);

	update(rt);

}

作为一棵最最普通的线段树，它有一个性质，对于每个结点 x，它的左儿子的编号是 x * 2 （即代码中的 x << 1），右儿子的编号是 x * 2 + 1 （即代码中的 x << 1 | 1）。

代码中的 l 和 r 数组用于记录编号为 rt 的点所管辖的区间的左右端点。

update 是什么？它是用子节点的数据更新自身的数据，以保证正确性。

update 的具体实现

void update(int rt) {

	sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];

}

它在后续的操作中也会用到。

2. 修改

void change(int rt, int L, int R, int x) {

	if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {

		sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;

		lazy[rt] += x;

		return ;

	}

	pushdown(rt);

	if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);

	if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);

	update(rt);

}

其中传入的参数 L 和 R 表示需修改的区间的左右端点，x 表示这个区间上要加的数。

if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) 意为当该点管辖的区间被需修改的区间全覆盖时，直接修改这个点上记录的区间和，并打上懒标记，不继续下传，以保证效率。（懒标记就是一种记录修改操作的 tag，用于节省时间。）

pushdown 操作意为该点管辖的区间不完全覆盖于需修改的区间时，下传懒标记。（为什么现在才下传？因为懒标记就是这么用的因为后面的更改会用到该点的子节点的数据，如果懒标记不下传，后面的修改操作就会出现问题。）

下面的两个 if 是什么？

if (L <= r[rt << 1]) 表示左儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。（如果还是没看出来就翻回去看看定义和性质吖）

那么是不是就知道 if (l[rt << 1 | 1] <= R) 是什么了？

对，它表示的是右儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。

传的参数为什么是这样不用我说了吧？

pushdown 的具体实现

void pushdown(int rt) {

	if (!lazy[rt]) return ;

	sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt];

	sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt];

	lazy[rt << 1] += lazy[rt];

	lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];

	lazy[rt] = 0;

	update(rt);

}

在下传懒标记时给子节点的区间和加上懒标记的值 × 子节点的区间大小。（给该子节点的管辖区间的所有数都加上懒标记的值，那么该区间的区间和就会加上懒标记的值 × 区间长度。）

同时，给子节点的懒标记都加上自己的懒标记的值。（没错我还是给你吊在那里，不给你传到底）

记得清空自己的懒标记值并更新自己的区间和。

3. 查询

ll query(int rt, int L, int R) {

	if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];

	pushdown(rt);

	ll res = 0;

	if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);

	if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);

	return res;

}

查询其实和修改很像。（不妨肉眼观查一下）

在该结点所管辖的区间完全被覆盖时，直接返回区间和。

若未被完全覆盖，则下传懒标记，分左右儿子考虑，统计总答案并返回值。

是不是 so easy？

于是你愉快地切了这题。

完整代码，点击查看

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define pii pair<int, int>

inline ll read() {

	ll s = 0, w = 1;

	char c = getchar();

	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') w = -1; c = getchar();}

	while (c >= '0' && c <= '9') s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48), c = getchar();

	return s * w;

}

const int N = 100010;

int n, m, a[N];

struct SegmentTree {

	ll sum[N << 2], lazy[N << 2];

	int l[N << 2], r[N << 2];

	void update(int rt) {

		sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];

	}

	void pushdown(int rt) {

		if (!lazy[rt]) return ;

		sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1] += lazy[rt];

		sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];

		lazy[rt] = 0;

		update(rt);

	}

	void build(int rt, int L, int R) {

		l[rt] = L, r[rt] = R;

		if (L == R) {

			sum[rt] = a[L];

			return ;

		}

		int mid = L + R >> 1;

		build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);

		update(rt);

	}

	void change(int rt, int L, int R, int x) {

		if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {

			sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;

			lazy[rt] += x;

			return ;

		}

		pushdown(rt);

		if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);

		if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);

		update(rt);

	}

	ll query(int rt, int L, int R) {

		if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];

		pushdown(rt);

		ll res = 0;

		if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);

		if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);

		return res;

	}

} tree;

int main() {

	n = read(), m = read();

	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();

	tree.build(1, 1, n);

	while (m--) {

		int op = read();

		if (op == 1) {

			int l = read(), r = read(), x = read();

			tree.change(1, l, r, x);

		}

		if (op == 2) {

			int l = read(), r = read();

			printf("%lld\n", tree.query(1, l, r));

		}

	}

	return 0;

}

现在，你学会了区间修改区间查询的线段树，不如想想单点修改区间查询和区间修改单点查询怎么写？（为什么没有单点修改单点查询线段树呢（小声）

点击继续研究线段树 - 线段树学习笔记（基础&进阶）（二）

巴特西