polay计数原理
2024-09-08 08:21:38
公式:
Burnside引理: 1/|G|*(C(π1)+C(π2)+C(π3)+.....+C(πn));
C(π):指不同置换下的等价类数。例如π=(123)(3)(45)(6)(7),X={1,2,3,4,5,6,7};那么C(π)={3,6,7}共3个等价类。
Polya定理: 1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)).
设G={π1,π2,π3........πn}是X={a1,a2,a3.......an}上一个置换群, 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数。
eg:
POJ2409 Let it Bead
http://poj.org/problem?id=2409
题意:
有一个n长的项链,用m种颜色对其染色,有多少中不同的染色方法,项链可以旋转或者翻转。
思路:
用polya计数法,
对于旋转:每种旋转的循环节数就是gcd(i,n).
对于翻转:奇数时,按一个点与对边的轴翻转,循环节就是(n+1)/2,有n种。
偶数时,可以以两条对边翻转,循环节数就是n/2,可以以两对点翻转,循环节数就是(n+2)/2 ,分别有n/2种
代码:
long long n,m;
long long flag,sum,ave,ans,res; long long gcd(long long x,long long y)
{
return y?gcd(y,x%y):x;
}
long long power(long long x,long long k)
{
long long ans = 1;
while(k)
{
if(k & 1) ans *= x;
x *= x;
k >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int i,j,k,kk,t,x,y,z;
while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF&&n)
{
sum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
sum+=power(m,gcd(n,i));
if(n&1)sum+=(n*power(m,(n+1)/2));
else sum+=(n/2*power(m,(n+2)/2)+n/2*power(m,n/2));
sum/=(2*n);
printf("%lld\n",sum);
}
return 0;
}
gym-101873B Buildings(polya计数)
ll qfast(ll x,ll y)
{
ll ans=1;
while(y)
{
if(y&1) ans=ans*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1;
}
return ans%mod;
}
void run()
{
ll n=rdll(),m=rdll(),c=rdll();
ll x=qfast(c,n*n);
ll ans=0;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
ans+=qfast(x,__gcd(i,m));
ans%=mod;
}
ans*=qfast(m,mod-2);
printf("%lld\n",ans%mod);
}
signed main()
{
// int t=rd();
// while(t--)
run();
return 0;
}
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