P1081 开车旅行
题目描述
小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的
城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为
Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即
d[i,j] = |Hi− Hj|。
旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划
选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B
的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿
着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离
相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的
城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。
在启程之前，小 A 想知道两个问题：
1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶
的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比
值都最小，则输出海拔最高的那个城市。
- 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程
总数。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。
第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海
拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。
第三行包含一个整数 X0。
第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。
接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。
输出格式：
输出共 M+1 行。
第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶
的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。
接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和
Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。
输入输出样例
输入样例#1：
drive1
4
2 3 1 4
3
4
1 3
2 3
3 3
4 3
drive2
10
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10
7
10
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 7
8 7
9 7
10 7
输出样例#1：
drive1
1
1 1
2 0
0 0
0 0
drive2
2
3 2
2 4
2 1
2 4
5 1
5 1
2 1
2 0
0 0
0 0
说明
【输入输出样例 1 说明】
各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。
如果从城市 1 出发，可以到达的城市为 2,3,4，这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2，
但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3 离城市 1 最近，城市 2 离城市
1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城
市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4 离城市 2 最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城
市 4 后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。
如果从城市 2 出发，可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由
于城市 3 离城市 2 第二近，所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后，前面尚未旅行的城市为
4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会
直接在城市 3 结束旅行。
如果从城市 3 出发，可以到达的城市为 4，由于没有离城市 3 第二近的城市，因此旅行
还未开始就结束了。
如果从城市 4 出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。
【输入输出样例 2 说明】
当 X=7 时，
如果从城市 1 出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小 A 走的距离为 1+2=3，小 B 走的
距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视
为与城市 1 第二近的城市，所以小 A 最终选择城市 2；走到 9 后，小 A 只有城市 10 可以走，
没有第 2 选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）
如果从城市 2 出发，则路线为 2 -> 6 -> 7 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。
如果从城市 3 出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。
如果从城市 4 出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。
如果从城市 5 出发，则路线为 5 -> 7 -> 8 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。
如果从城市 6 出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。
如果从城市 7 出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。
如果从城市 8 出发，则路线为 8 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，0。
全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2012）复赛
提高组 day1
第 7 页 共 7 页
如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结
束了）。
如果从城市 10 出发，则路线为 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0。
从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，
但是城市 2 的海拔更高，所以输出第一行为 2。
【数据范围】
对于 30%的数据，有 1≤N≤20，1≤M≤20；
对于 40%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤100；
对于 50%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤1,000；
对于 70%的数据，有 1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；
对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，
0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证 Hi互不相同。
NOIP 2012 提高组 第一天 第三题
...
...
...
写了半晚上加半下午
...
...
...
万恶的树上倍增
方法：
- 处理出每个点的最接近值和次接近值，用链表\set\平衡树均可，冷静分析似乎链表最可写？
- 用\(f[i][j][k]\)表示从点k开始，走\(2^j\)个点后到达的点
- \(da[i][j][k]\)表示从点i开始，k先走，走\(2^j\)个点后\(a\)走过的路程
- \(db[i][j][k]\)表示从点i开始，k先走，走\(2^j\)个点后\(b\)走过的路程
- 倍增求解即可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define M 500100
using namespace std;
int i,m,n,j,k,a[M],f[M][25][2];
long long da[M][25][2],db[M][25][2],x0,x,s,zz,sum;
double ans=10000000000*0.1;
bool bbb=0;
struct vv
{
int w,z;
} b[100001];
bool cmp(vv a,vv b)
{
return a.z<b.z;
}
struct node
{
long long value;
int wz;
node *pre,*nex;
};
node *head, *tail,*h[1000010],*q;
void in()
{
head = new node();
tail= new node();
head->nex= tail;
tail->pre= head;
}
void ins(node *p,long long val,int w)
{
q=new node();
q->value =val;
p->nex->pre=q;
q->nex=p->nex;
p->nex=q; q->pre=p;
q->wz=w;
h[w]=q;
head=q;
}
void remove(node *p)
{
p->pre->nex=p->nex;
p->nex->pre=p->pre;
delete p;
}
void recycle()
{
while(head!=tail)
{
head=head->nex;
delete head->pre;
}
delete tail;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[i].z=a[i],b[i].w=i;
sort(b+1,b+1+n,cmp);
in();
ins(head,-100000000000000,0);
for(i=1;i<=n;i++) ins(head,b[i].z,b[i].w);
ins(head,100000000000000,n+1);
sum=n;
for(i=1;i<n;i++)
{
if(a[i]-h[i]->pre->value==h[i]->nex->value-a[i])
{
f[i][0][1]=h[i]->pre->wz;
f[i][0][0]=h[i]->nex->wz;
}
if(a[i]-h[i]->pre->value<h[i]->nex->value-a[i])
{
f[i][0][1]=h[i]->pre->wz;
if(a[i]-h[i]->pre->pre->value==h[i]->nex->value-a[i]) f[i][0][0]=h[i]->pre->pre->wz;
else f[i][0][0]=a[i]-h[i]->pre->pre->value < h[i]->nex->value-a[i] ? h[i]->pre->pre->wz : h[i]->nex->wz;
}
if(a[i]-h[i]->pre->value > h[i]->nex->value-a[i])
{
f[i][0][1]=h[i]->nex->wz;
if(-a[i]+h[i]->nex->nex->value==-h[i]->pre->value+a[i]) f[i][0][0]=h[i]->pre->wz;
else f[i][0][0]=-a[i]+h[i]->nex->nex->value < -h[i]->pre->value+a[i] ? h[i]->nex->nex->wz : h[i]->pre->wz;
}
if(f[i][0][0]==n+1) f[i][0][0]=0;
if(f[i][0][1]==n+1) f[i][0][1]=0;
remove(h[i]);
if(f[i][0][0]) da[i][0][0]=abs(a[f[i][0][0]]-a[i]);
if(f[i][0][1]) db[i][0][1]=abs(a[f[i][0][1]]-a[i]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
f[i][1][1]=f[f[i][0][1]][0][0];
f[i][1][0]=f[f[i][0][0]][0][1];
if(f[i][0][1]) da[i][1][0]=da[i][0][0]+da[f[i][0][0]][0][1];
if(f[i][0][0]) da[i][1][1]=da[i][0][1]+da[f[i][0][1]][0][0];
if(f[i][0][1]) db[i][1][0]=db[i][0][0]+db[f[i][0][0]][0][1];
if(f[i][0][0]) db[i][1][1]=db[i][0][1]+db[f[i][0][1]][0][0];
}
for(i=2;i<=20;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
f[j][i][0]=f[f[j][i-1][0]][i-1][0];
f[j][i][1]=f[f[j][i-1][1]][i-1][1];
da[j][i][0]=da[j][i-1][0]+da[f[j][i-1][0]][i-1][0];
da[j][i][1]=da[j][i-1][1]+da[f[j][i-1][1]][i-1][1];
db[j][i][0]=db[j][i-1][0]+db[f[j][i-1][0]][i-1][0];
db[j][i][1]=db[j][i-1][1]+db[f[j][i-1][1]][i-1][1];
}
scanf("%d%d",&x0,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
{
long long t=i,aa=0,bb=0;
for(j=20;j>=0;j--) if(f[t][j][0] || f[t][j][0])
if(aa+bb+da[t][j][0]+db[t][j][0]<=x0)
{
aa+=da[t][j][0]; bb+=db[t][j][0];
t=f[t][j][0];
}
if(bb) if(ans>(double)aa/bb)
{
ans=(double)aa/bb;
zz=i;
}
}
printf("%lld\n",zz);
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&s,&x);
long long t=s,aa=0,bb=0;
for(j=20;j>=0;j--) if(da[t][j][0] || db[t][j][0])
if(aa+bb+da[t][j][0]+db[t][j][0]<=x)
{
aa+=da[t][j][0]; bb+=db[t][j][0];
t=f[t][j][0];
}
printf("%lld %lld\n",aa,bb);
}
}
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