P3241 [HNOI2015]开店动态点分治

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

风见幽香有一个好朋友叫八云紫，她们经常一起看星星看月亮从诗词歌赋谈到人生哲学。最近她们灵机一动，打算在幻想乡开一家小店来做生意赚点钱。

这样的想法当然非常好啦，但是她们也发现她们面临着一个问题，那就是店开在哪里，面向什么样的人群。很神奇的是，幻想乡的地图是一个树形结构，幻想乡一共有 $n$个地方，编号为 $1$ 到$n$ 被$n-1$ 条带权的边连接起来。每个地方都住着一个妖怪，其中第$i$ 个地方的妖怪年龄是 $x_i$ 。

妖怪都是些比较喜欢安静的家伙，所以它们并不希望和很多妖怪相邻。所以这个树所有顶点的度数都小于或等于 $3$。妖怪和人一样，兴趣点随着年龄的变化自然就会变化，比如我们的$18$ 岁少女幽香和八云紫就比较喜欢可爱的东西。幽香通过研究发现，基本上妖怪的兴趣只跟年龄有关，所以幽香打算选择一个地方$u$ （$u$ 为编号），然后在$u$开一家面向年龄在$L$ 到$R$ 之间（即年龄大于等于$L$ 小于等于$R$ ）的妖怪的店。

也有可能$u$ 这个地方离这些妖怪比较远，于是幽香就想要知道所有年龄在$L$ 到$R$ 之间的妖怪，到点$u$ 的距离的和是多少（妖怪到$u$ 的距离是该妖怪所在地方到$u$ 的路径上的边的权之和），幽香把这个称为这个开店方案的方便值。

幽香她们还没有决定要把店开在哪里，八云紫倒是准备了很多方案，于是幽香想要知道，对于每个方案，方便值是多少呢。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行三个用空格分开的数$n,Q$ 和$A$ ，表示树的大小、开店的方案个数和妖怪的年龄上限。

第二行$n$ 个用空格分开的数$x_1,x_2,\ldots,x_n;$xi 表示第$i$ 个地点妖怪的年龄，满足$0\le x_i\lt A$ 。(年龄是可以为$0$的，例如刚出生的妖怪的年龄为$0$ 。)

接下来$n-1$ 行，每行三个用空格分开的数$a$ 、$b$ 、$c$ ，表示树上的顶点$a$ 和$b$ 之间有一条权为$c(1\le c\le1000)$的边，$a$ 和$b$ 是顶点编号。

接下来$Q$ 行，每行三个用空格分开的数$u,a,b$ 。

对于这$Q$ 行的每一行，用$a,b,A$ 计算出$L$ 和$R$ ，表示询问”在地方$u$ 开店，面向妖怪的年龄区间为$[L,R]$ 的方案的方便值是多少“。

对于其中第$1$ 行，$L$ 和$R$ 的计算方法为：$L$ = min($a$ % $A$,$b$ % $A$),$R$ = max($a$ % $A$,$b$ % $A$) 。

对于第$2$ 到第$Q$ 行，假设前一行得到的方便值为$ans$ ，那么当前行的$L$ 和$R$ 计算方法为： $L=min((a+ans)%A,(b+ans) %A),R=max((a+ans) %A,(b+ans) %A) 。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

对于每个方案，输出一行表示方便值。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

10 10 10

0 0 7 2 1 4 7 7 7 9

1 2 270

2 3 217

1 4 326

2 5 361

4 6 116

3 7 38

1 8 800

6 9 210

7 10 278

8 9 8

2 8 0

9 3 1

8 0 8

4 2 7

9 7 3

4 7 0

2 2 7

3 2 1

2 3 4

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

满足$n\le1.5*10^5,Q\le2*10^5$ 。对于所有数据，满足 $A<=10^9$

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

动态点分治

建立点分树

每个点维护4个vector，一个是自己子树的age（有序加入），一个是对应的dis前缀和，我们考虑在age上二分找到L,R，用这个下标在dis上收集ans

还有两个数组类似，记录对父亲的贡献

先在点分树让上把四个vector预处理出来，为了保证age有序，我们先把点按age从小到大排序，在更新

然后在点分树上统计贡献就行，注意卡二分边界

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int maxn = 2e5 + 10;

struct node {

	int to;

	LL dis;

	node *nxt;

	node(int to = 0, LL dis = 0, node *nxt = NULL): to(to), dis(dis), nxt(nxt) {}

	void *operator new (size_t) {

		static node *S = NULL, *T = NULL;

		return (S == T) && (T = (S = new node[1024]) + 1024), S++;

	}

};

LL n, Q, A;

using std::vector;

vector<LL> tofadis[maxn], tofaage[maxn], dis[maxn], age[maxn];

int siz[maxn], maxsiz[maxn], root, f[maxn][26], sum, rt, u[maxn], dep[maxn];

LL d[maxn][26], val[maxn];

node *head[maxn];

bool vis[maxn];

void add(int from, int to, LL dis) {

	head[from] = new node(to, dis, head[from]);

}

void init() {

	n = in(), Q = in(), A = in();

	for(int i = 1; i <= n; i++) val[i] = in();

	LL x, y, z;

	for(int i = 1; i < n; i++) {

		x = in(), y = in(), z = in();

		add(x, y, z), add(y, x, z);

	}

}

void getroot(int x, int fa) {

	siz[x] = 1;

	maxsiz[x] = 0;

	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {

		if(i->to == fa || vis[i->to]) continue;

		getroot(i->to, x);

		siz[x] += siz[i->to];

		maxsiz[x] = std::max(maxsiz[x], siz[i->to]);

	}

	maxsiz[x] = std::max(maxsiz[x], sum - siz[x]);

	if(maxsiz[x] < maxsiz[root]) root = x;

}

void build(int x) {

	vis[x] = true;

	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {

		if(vis[i->to]) continue;

		root = 0, sum = siz[i->to];

		getroot(i->to, 0);

		u[root] = x;

		build(root);

	}

}

void build() {

	maxsiz[0] = sum = n;

	getroot(1, 0);

	rt = root;

	build(root);

}

void dfs(int x, int fa) {

	dep[x] = dep[fa] + 1;

	f[x][0] = fa;

	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {

		if(i->to == fa) continue;

		dfs(i->to, x);

		d[i->to][0] = i->dis;

	}

}

void beizeng() {

	dfs(1, 0);

	for(int j = 1; j <= 24; j++)

		for(int i = 1; i <= n; i++) {

			f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];

			d[i][j] = d[f[i][j - 1]][j - 1] + d[i][j - 1];

		}

}

LL LCA(int x, int y) {

	LL D = 0;

	if(dep[x] < dep[y]) std::swap(x, y);

	for(int i = 24; i >= 0; i--) if(dep[f[x][i]] >= dep[y]) D += d[x][i], x = f[x][i];

	if(x == y) return D;

	for(int i = 24; i >= 0; i--) if(f[x][i] != f[y][i]) D += d[x][i] + d[y][i], x = f[x][i], y = f[y][i];

	return D + d[x][0] + d[y][0];

}

bool cmp(const int &a, const int &b) { return val[a] < val[b]; }

void predoit() {

	static int id[maxn];

	for(int i = 1; i <= n; i++) id[i] = i;

	std::sort(id + 1, id + n + 1, cmp);

	for(int i = 1; i <= n; i++) {

		int now = id[i];

		//当前点的年龄，dis前缀和

		age[now].push_back(val[now]);

		dis[now].push_back(dis[now].empty()? 0 : dis[now].back());

		for(int o = now; u[o]; o = u[o]) {

			LL D = LCA(now, u[o]);

			//当前点父亲的年龄，dis前缀和

			age[u[o]].push_back(val[now]);

			dis[u[o]].push_back(dis[u[o]].empty()? D : dis[u[o]].back() + D);

			//当前点对父亲的贡献，同样维护

			tofaage[o].push_back(val[now]);

			tofadis[o].push_back(tofadis[o].empty()? D : tofadis[o].back() + D);

		}

	}

}

LL calc(int pos, LL L, LL R) {

	LL posl, posr;

	LL ans;

	//初始为pos子树自己的贡献

	posl = std::lower_bound(age[pos].begin(), age[pos].end(), L) - age[pos].begin() - 1;

	posr = std::upper_bound(age[pos].begin(), age[pos].end(), R) - age[pos].begin() - 1;

	//注意卡边界

	if(R < age[pos].front() || L > age[pos].back()) ans = 0;

	else if(posl == -1) ans = dis[pos][posr];

	else ans = dis[pos][posr] - dis[pos][posl];

	for(int o = pos; u[o]; o = u[o]) {

		LL tot, fal, far;

		//统计ans在age里二分，在dis里收集答案

		posl = std::lower_bound(tofaage[o].begin(), tofaage[o].end(), L) - tofaage[o].begin() - 1;

		posr = std::upper_bound(tofaage[o].begin(), tofaage[o].end(), R) - tofaage[o].begin() - 1;

		if(R < tofaage[o].front() || L > tofaage[o].back()) tot = 0;

		else if(posl == -1) tot = tofadis[o][posr];

		else tot = tofadis[o][posr] - tofadis[o][posl];

		//这个减去的是自己对父亲的贡献，现在要统计父亲的其他子树的贡献，自己的贡献会重（父亲子树的贡献-自己子树的贡献=兄弟子树的贡献（对父亲的贡献））

		ans -= tot;

		LL D = LCA(u[o], pos);

		fal = std::lower_bound(age[u[o]].begin(), age[u[o]].end(), L) - age[u[o]].begin() - 1;

		far = std::upper_bound(age[u[o]].begin(), age[u[o]].end(), R) - age[u[o]].begin() - 1;

		if(R < age[u[o]].front() || L > age[u[o]].back()) tot = 0;

		else if(fal == -1) tot = dis[u[o]][far];

		else tot = dis[u[o]][far] - dis[u[o]][fal];

		//父亲子树到父亲的贡献，因为上面已经减去了那部分，所以不会重复

		ans += tot;

		//上面的是父亲其他子树到父亲的贡献，这是其中一段距离，我们的目的是他们到pos的距离，所以还差父亲到pos的距离

		ans += ((far - fal) - (posr - posl)) * D;

	}

	return ans;

}

void query() {

	LL pos, a, b, L, R, ans = 0;

	while(Q --> 0) {

		pos = in(), a = in(), b = in();

		L = std::min((a + ans) % A, (b + ans) % A), R = std::max((a + ans) % A, (b + ans) % A);

		ans = calc(pos, L, R);

		printf("%lld\n", ans);

	}

}

int main() {

	init();

	build();

	beizeng();

	predoit();

	query();

	return 0;

}

巴特西

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\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

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\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

动态点分治

建立点分树

每个点维护4个vector，一个是自己子树的age（有序加入），一个是对应的dis前缀和，我们考虑在age上二分找到L,R，用这个下标在dis上收集ans

还有两个数组类似，记录对父亲的贡献

先在点分树让上把四个vector预处理出来，为了保证age有序，我们先把点按age从小到大排序，在更新

然后在点分树上统计贡献就行，注意卡二分边界

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\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

动态点分治

建立点分树

每个点维护4个vector，一个是自己子树的age（有序加入），一个是对应的dis前缀和，我们考虑在age上二分找到L,R， 用这个下标在dis上收集ans

还有两个数组类似，记录对父亲的贡献

先在点分树让上把四个vector预处理出来，为了保证age有序，我们先把点按age从小到大排序，在更新

然后在点分树上统计贡献就行，注意卡二分边界

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每个点维护4个vector，一个是自己子树的age（有序加入），一个是对应的dis前缀和，我们考虑在age上二分找到L,R，用这个下标在dis上收集ans