【费用流】BZOJ1061[NOI2008]-志愿者招募

【题目大意】

一个项目需要n天完成，其中第i天至少需要Ai个人。共有m类人可以招募，其中第i类可以从第Si天做到第Ti天，每人的招募费用为Ci元。求最小招募费用。

【思路】

byvoid神犇的建图详解，对理解网络流有很好的帮助，下面再引用一下，原po请戳：★

这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类 1 2 3 4 5

时间 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4

费用 3 4 3 5 6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<vector>

 #include<queue>

 #define S 0

 #define T n+2

 using namespace std;

 struct node

 {

     int to,pos,cap,val;

 };

 const int MAXM=+;

 const int MAXN=+;

 const int INF=0x7fffffff;

 int n,m,a[MAXN],s[MAXM],t[MAXM],c[MAXM];

 int pre[MAXN],preedge[MAXN];

 vector<node> E[MAXN];

 void addedge(int u,int v,int ca,int va)

 {

     E[u].push_back((node){v,E[v].size(),ca,va});

     E[v].push_back((node){u,E[u].size()-,,-va});

 }

 int SPFA()

 {

     queue<int> que;

     int vis[MAXN],dis[MAXN];

     memset(vis,,sizeof(vis));

     memset(pre,-,sizeof(pre));

     for (int i=S;i<=T;i++) dis[i]=INF;

     que.push();

     vis[]=;

     dis[]=;

     while (!que.empty())

     {

         int head=que.front();que.pop();

         vis[head]=;

         for (int i=;i<E[head].size();i++)

         {

             node &tmp=E[head][i];

             if (tmp.cap> && dis[tmp.to]>dis[head]+tmp.val)

             {

                 dis[tmp.to]=dis[head]+tmp.val;

                 pre[tmp.to]=head;

                 preedge[tmp.to]=i;

                 if (!vis[tmp.to])

                 {

                     que.push(tmp.to);

                     vis[tmp.to]=;

                 }

             }

         }

     }

     if (dis[T]==INF) return ;else return ;

 } 

 int mcf()

 {

     int flow=;

     int ans=;

     while (SPFA())

     {

         int f=INF;

         for (int i=T;pre[i]!=-;i=pre[i])

         {

             node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]];

             f=min(f,tmp.cap);

         }

         for (int i=T;pre[i]!=-;i=pre[i])

         {

             node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]];

             tmp.cap-=f;

             E[tmp.to][tmp.pos].cap+=f;

             ans+=f*tmp.val;

         }

     }

     return ans;

 }

 void init()

 {

     scanf("%d%d",&n,&m);

     for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

     for (int i=;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&s[i],&t[i],&c[i]);

 }

 void build()

 {

     a[]=a[n+]=;

     for (int i=;i<=n+;i++)

     {

         int c=a[i]-a[i-];

         if (c>) addedge(S,i,c,);

         if (c<) addedge(i,T,-c,);

     }

     for (int i=;i<=m;i++)

         addedge(s[i],t[i]+,INF,c[i]);

     for (int i=;i<=n;i++) addedge(i+,i,INF,);

 }

 int main()

 {

     init();

     build();

     cout<<mcf()<<endl;

     return ;

 }

巴特西

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