谁能笑到最后，约瑟夫环-Josephus问题求解

一、简述Josephus问题

　　N个人站成一环，从1号开始，用刀将环中后面一个人“消灭“”掉，之后再将刀递给下一个人，这样依次处理，最后留下一个幸存者。

二、求解方法

1. 约瑟夫问题如果使用链表来求解比较麻烦，这里采用循环队列的处理。

约瑟夫问题可以等价为l连续地DeQueue()两次，然后再将第一次DeQueue()的值EnQueue()入队列尾，直到队列中只剩下一个元素。

# 循环队列代码如下：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define MAX 100   /* Maximum size of Queue */

typedef struct _Queue *Queue;

struct _Queue {

    int A[MAX];

    int Head, Tail;

    int Num_of_Items;

};               /* Queue struct and pointer define */

void EnQueue( Queue Q, int x )

{

    if ( Q->Num_of_Items < MAX ) {

        /*  Cycle Queue not full */

        if ( Q->Num_of_Items ==  ) {

            Q->Head = Q->Tail = ;

            Q->A[] = x;

        } else {

            Q->Tail = (Q->Tail + ) % MAX; /* Tail insert */

            Q->A[Q->Tail] = x;

        }

        Q->Num_of_Items++;

    } else {

        printf("Warning: Full Queue!\n");

        return;

    }

}

int DeQueue( Queue Q )

{

    if ( Q->Num_of_Items <  ) {

        /* empty queue */

        printf("Warning: Empty Queue!\n");

    } else {

        int ret = Q->A[Q->Head];

        Q->Num_of_Items--;

        Q->Head = (Q->Head + ) % MAX;

        return ret;

    }

}

# 循环队列解约瑟夫问题：

void JosephusByQueue()

{

    _Queue Que;

    Queue Q = &Que; /* initial */

    //Queue Q = (Queue)malloc( sizeof(struct _Queue) );

    Q->Num_of_Items = ;    

    int i, j, n, answer;

    printf("Enter an integer (1--99):");

    scanf("%d", &n);

    /* Solve Josephus Problem */

    /* Step 1: Put all the number between 1 to n to the Queue */

    for ( i = ; i <= n; i++ ) {

        EnQueue( Q, i);

    }

    /* Step 2: Start killing for n-1 rounds */

    for ( i = ; i < n; i++ ) {

        j = DeQueue( Q ); /* first dequeue item */

        DeQueue( Q );

        EnQueue( Q, j );

    }

    answer = Q->A[Q->Head]; /* the last item */

    printf("The value of J(%d) is: %d\n", n, answer);

}

2. 每次隔一个人就消灭掉一人，经过一圈，消灭一半，就等于累次除二。等价于二的幂相关问题。

对于Josephus( N )：

　　 [1] 若N为二次幂(N = 2^M)，M为幂次。从开始一圈消除偶数，再消除奇数，每次跳过起始的1，最终留下1。

　　 EX 1: J( 8 ): Green : start ， Red: delete

　　 2 3 4 5 6 7 8 --> 1 2 3 4 5 6 7 8 --> 1 3 5 7

　　 --> 1 3 5 7 --> 5 --> 1 5 --> 1

　　 [2] 若N为奇数，可化为(N = 2^M + K)，先消除K个人，即经历过2K个人后。又为偶数问题，留下的[ Last=2K+1 ]。

　　 EX 2: J( 10 ) : N = 10, M = 3, K = 2 --> J( 10 ) = 2*k + 1 = 5

公式： N = 2^M + K ， K= N - 2^M。 J( N ) = 2 *( N - 2^M ) + 1

求解代码：

/* 数学解法：N = 2^M + K | Last = 2 *( N - 2^M ) + 1  */

void Josephus()

{

    int i, n, m_prime, k;

    printf("Enter an integer:");

    scanf("%d", &n);    

    i = ;

    while ( i < n ) {

        /* find the largest power of 2 that less than n */

        i *= ;

    }

    m_power = i / ;

    k = n - m_power;

    printf("The remain one is %d!\n", ( * k + ));

}

主函数：

int main(int argc, char *argv[])

{

    printf("Method 1: Math solving\n");

    Josephus();

    printf("\nMethod 2: Queue solving\n");

return ;

}

参考资料：

[1] 中国大学MOOC-数据结构-台湾清华大学-04BasicDataStructure

[2] 2的幂在约瑟夫环问题的应用https://www.cnblogs.com/sirlipeng/p/5387830.html#undefined

图片来自网络

巴特西

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