洛谷P4198 楼房重建 (分块)
洛谷P4198 楼房重建
题目描述
小A的楼房外有一大片施工工地,工地上有N栋待建的楼房。每天,这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆,数自己能够看到多少栋房子。
为了简化问题,我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小A在平面上(0,0)点的位置,第i栋楼房可以用一条连接(i,0)和(i,Hi)的线段表示,其中Hi为第i栋楼房的高度。如果这栋楼房上任何一个高度大于0的点与(0,0)的连线没有与之前的线段相交,那么这栋楼房就被认为是可见的。
施工队的建造总共进行了M天。初始时,所有楼房都还没有开始建造,它们的高度均为0。在第i天,建筑队将会将横坐标为Xi的房屋的高度变为Yi(高度可以比原来大—修建,也可以比原来小—拆除,甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做)。请你帮小A数数每天在建筑队完工之后,他能看到多少栋楼房?
输入输出格式
输入格式:
第一行两个正整数N,M
接下来M行,每行两个正整数Xi,Yi
输出格式:
M行,第i行一个整数表示第i天过后小A能看到的楼房有多少栋
输入输出样例
输入样例#1:
3 4
2 4
3 6
1 1000000000
1 1
输出样例#1:
1
1
1
2
说明
对于所有的数据1<=Xi<=N,1<=Yi<=10^9
N,M<=100000
Solution
我们发现能看见的楼房的个数,就是这些楼房的斜率的最长上升子序列的长度,可以线段树维护,也可以分块,但是分块要慢得多
博主在这里讲一下分块的做法,线段树以后再补?
设有两个点a,b,高度分别为h[a],h[b],如果a不会被b阻挡,必有\(\frac{h[a]}{a}>=\frac{h[b]}{b}\),化为乘法形式为\(h[a]\times b>=h[b]\times a\),特别的,对于原点,我们特判一下,h[a]是不是大于0就可以了
对于修改,我们暴力更新本块内元素信息,每次清零,重新维护一个块内最长上升子序列的长度,时间复杂度\(O(\sqrt n)\)
对于查询,设last为上一个满足条件的块的末尾节点,我们每次从块1开始,一直到最后一块,在块内二分查找(因为是最长上升子序列,所以满足单调性)与last相比刚刚满足条件的点,那么从这个点开始一直到块末都是合法的序列,把答案加上这一段区间的长度,然后把last更新为本块末尾,继续上述操作
时间复杂度\(O(\sqrt n)\)
然而这样是会T的,我们把块的大小改为\(\sqrt {\frac{n\times log(n)}{2}}\)会有奇效,但是记得数组大小也要相应更改
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define lol long long
#define il extern inline
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define in(i) (i=read())
using namespace std;
const lol N=1e5+10;
int read() {
int ans=0,f=1; char i=getchar();
while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0',i=getchar();
return ans*f;
}
int n,m,blo,h[N],pos[N];
struct Stack {
int s[N],top;
}t[330];
il bool check(lol a,lol b) {
if(!b) return h[a]>0;
return (lol)(h[a]*b)>(lol)(h[b]*a);
}
void print(int x) {
if(x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
int main() {
in(n),in(m); blo=sqrt(n*log(n)/2);
for(rg int i=1;i<=n;i++) pos[i]=(i-1)/blo+1;
while(m--) {
int x,ans=0; in(x),in(h[x]);
rg int l=(pos[x]-1)*blo+1,r=Min(n,pos[x]*blo);
t[pos[x]].top=0;
for(rg int i=l;i<=r;i++)
if(check(i,t[pos[x]].s[t[pos[x]].top]))
t[pos[x]].s[++t[pos[x]].top]=i;//用一个栈来维护
for(rg int i=1,last=0;i<=pos[n];i++) {
rg int AQ=0; l=1,r=t[i].top;
while(l<=r) {
int mid=l+r>>1;
if(check(t[i].s[mid],last)) AQ=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(AQ) last=t[i].s[t[i].top],ans+=t[i].top-AQ+1;
}print(ans),putchar('\n');
}
}
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