PCA whitening

2024-10-19 00:29:32

对输入数据，维度为2时，想要把数据降维1维：

数据的主方向就是旋转数据的第一维。因此，若想把这数据降到一维，可令：

数据已经进行预处理（零均值），使得每个特征和具有相同的均值和方差。

PCA算法将寻找一个低维空间来投影我们的数据。从下图中可以看出，是数据变化的主方向，而是次方向。

为更形式化地找出方向和，我们首先计算出协方差矩阵，如下所示：

　　　　就是协方差矩阵的主特征向量，而是次特征向量。（按照特征值得大小选取）

向量和构成了一个新基，可以用来表示数据。那么就是样本点在维度上的投影的长度（幅值）。同样的，是投影到维度上的幅值。

在本例中，可得的点图如下（取）：

　　

协方差：为了衡量两个数据的相关性，一个数据朝大于均值的方向走的趋势时，另一个数据如果朝小于均值的方向走，趋势相反，协方差值为负的，负相关；如果另一个数据同意朝大于均值的方向变化，协方差为正值，正相关。如果协方差值为0，不相关。

数据白化就是为降低训练数据的冗余，降低输入的冗余性

由前面的例子，特征的分布如下图所示：

　　这个数据的协方差矩阵如下：

　　和是不相关的, 满足我们对白化结果的第一个要求 (特征间相关性降低)。为了使每个输入特征具有单位方差，我们可以直接使用作为缩放因子来缩放每个特征。具体地，我们定义白化后的数据如下：

　　绘制出，我们得到:

这些数据现在的协方差矩阵为单位矩阵。我们说，是数据经过PCA白化后的版本: 中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。

拿图像为例，图像中的像素之间存在很强的相关性。（在图像处理中，一个像素与相邻像素的灰度值之间有联系，所以可以利用这一点进行图像压缩）。白化就是为了减少冗余也就是减少这种相关性。PCA白化在减少特征之间相关性的处理方法与PCA算法相同，找到一个新的基，将数据投影到新的基上，也就是将原始数据做旋转变化，达到减少相关性的目标。但PCA白化与PCA有一点不同，就是处理后的数据的方差为单位方差。主要是将主轴上的数据进行了缩放处理。

ZCA白化是在PCA白化后的数据基础上做处理，主要是对数据进行旋转，使数据比较好的接近原始数据，并没有减少数据特征之间的相关性。

PCA与白化，

就是对输入数据进行预处理，

前者对数据进行降维，后者对数据进行方差处理。

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