51 NOD 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)

1244 莫比乌斯函数之和

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莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

/*

杜教筛.

求积性函数前缀和.

被空间卡了一下午.

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define MAXN 2000001

#define mod  1333333

#define LL long long

using namespace std;

int mu[MAXN],p[MAXN],cut,pri[MAXN],tot,head[MAXN],sum[MAXN];

LL l,r;

struct data{int next;int v,x;}e[MAXN];

bool vis[MAXN];

void add(int u,int v,int x)

{

    e[++cut].v=v;e[cut].x=x;e[cut].next=head[u];head[u]=cut;

}

void pre()

{

    mu[1]=1;

    for(int i=2;i<=MAXN-1;i++)

    {

        if(!vis[i]) vis[i]=true,pri[++tot]=i,mu[i]=-1;

        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAXN-1;j++)

        {

            if(!vis[i*pri[j]]) vis[i*pri[j]]=true;

            if(i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];

            else {mu[i*pri[j]]=0;break ;}

        }

    }

    for(int i=1;i<=MAXN-1;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];

    return ;

}

LL slove(LL x)

{

    if(x<MAXN) return sum[x];

    int ans=0;LL k=x%mod,last;

    for(int i=head[k];i;i=e[i].next)

      if(e[i].v==x) return e[i].x;

    for(LL i=2;i<=x;i=last+1)

    {

        last=x/(x/i);

        ans+=(last-i+1)*slove(x/i);

    }

    ans=1-ans;

    add(k,x,ans);

    return ans;

}

int main()

{

    pre();

    cin>>l>>r;

    cout<<slove(r)-slove(l-1);

    return 0;

}

巴特西

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