正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6800

题目大意

给出一个\(n\)此多项式\(P\)，对于\(k\in[0,m-1]\)所有的求\(P(c^k)\)

输出答案对\(998244353\)取模

\(1\leq n,m\leq 10^6\)

解题思路

\[g(n)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ic^{i\times n}
\]

然后根据\(i\times n=\binom{i+n}{2}-\binom{i}{2}-\binom{n}{2}\)有

\[g(n)=c^{-\binom{n}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}a_ic^{\binom{i+n}{2}}c^{-\binom{i}{2}}
\]

然后这是一个反着卷积的形式，直接上NTT就好了

时间复杂度\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

const ll N=4e6+10,P=998244353;

ll n,m,c,a[N],r[N],F[N],G[N];

ll power(ll x,ll b){

	ll ans=1;b%=P-1;

	while(b){

		if(b&1)ans=ans*x%P;

		x=x*x%P;b>>=1;

	}

	return ans;

}

ll C(ll n)

{return n*(n-1)/2;}

void NTT(ll *f,ll n,ll op){

	for(ll i=0;i<n;i++)

		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);

	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){

		ll tmp=power(3,(P+1)/p),len=p>>1;

		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);

		for(ll k=0;k<n;k+=p){

			ll buf=1;

			for(ll i=k;i<k+len;i++){

				ll tt=f[i+len]*buf%P;

				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;

				f[i]=(f[i]+tt)%P;

				buf=buf*tmp%P;

			}

		}

	}

	if(op==-1){

		ll invn=power(n,P-2);

		for(ll i=0;i<n;i++)

			f[i]=f[i]*invn%P;

	}

	return;

}

signed main()

{

	scanf("%lld%lld%lld",&n,&c,&m);

	ll inv=power(c,P-2);

	for(ll i=0;i<n;i++)

		scanf("%lld",&a[i]);

	for(ll i=0;i<n+m;i++)

		F[i]=power(c,C(n+m-i-1));

	for(ll i=0;i<n;i++)

		G[i]=a[i]*power(inv,C(i))%P;

	ll len=1;

	while(len<n+m)len<<=1;

	for(ll i=0;i<len;i++)

		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);

	NTT(F,len,1);NTT(G,len,1);

	for(ll i=0;i<len;i++)F[i]=F[i]*G[i]%P;

	NTT(F,len,-1);

	for(ll i=n+m-1;i>=n;i--)

		printf("%lld ",F[i]*power(inv,C(n+m-i-1))%P);

	return 0;

}

巴特西

P6800-[模板]Chirp Z-Transform【NTT】

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