x和y为正整数变量，求满足 x+y | xy 的通解。
2024-09-07 13:20:44
x和y为正整数变量，求满足 x+y | xy 的通解。
解：由题设可知存在正整数t满足t(x+y)=xy。
设m=(x,y)，则存在正整数u和v满足：
x=mu, y=mv, (u,v)=1。
于是有tm(u+v)=mumv，即
t(u+v)=muv。
考察u+v的任意一个素因数p，若u也有素因数p，则由v=(u+v)-u可知，v也有素因数p，这与(u,v)=1矛盾。由此推出
u+v | m。
于是得到所求的通解为
x=ku(u+v), y=kv(u+v)
其中k为任意正整数，u和v为满足(u,v)=1的任意两个正整数。
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