Javascript 随机数函数 学习之二:产生服从正态分布随机数
一、为什么需要服从正态分布的随机函数
一般我们经常使用的随机数函数 Math.random() 产生的是服从均匀分布的随机数,能够模拟等概率出现的情况,例如 扔一个骰子,1到6点的概率应该相等,但现实生活中更多的随机现象是符合正态分布的,例如20岁成年人的体重分布等。
假如我们在制作一个游戏,要随机设定许许多多 NPC 的身高,如果还用Math.random(),生成从140 到 220 之间的数字,就会发现每个身高段的人数是一样多的,这是比较无趣的,这样的世界也与我们习惯不同,现实应该是特别高和特别矮的都很少,处于中间的人数最多,这就要求随机函数符合正态分布。
二、正态分布复习
图片来自:http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
具体性质也请查阅上面链接,描述正态分布的主要特征是均值和方差,如上图,最左的倒钟形图的均值为-2, 其余为0 ;
方差越大,钟形越扁平,方差越小越陡;
- 密度函数图像关于均值对称。
- 在x=μ±σ处,曲线有拐点。
- 函数曲线下68.26%的面积在平均数左右的一个标准差σ的区间内。
- 95.44%的面积在平均数左右两个标准差2σ的区间内。
- 99.74%的面积在平均数左右三个标准差3σ的区间内。
当均值为0, 方差为 1 时称为标准正态分布;
三、由均匀分布经 “Box-Muller法” 转换为正态分布
通过查阅文献可知(请参见:http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform),有一个称为 Box-Muller (1958) 转换的算法能够将两个在区间(0,1] 的均匀分布转化为标准正态分布,其公式为:
y1 = sqrt( - 2 ln(u) ) cos( 2 pi v )
y2 = sqrt( - 2 ln(u) ) sin( 2 pi v )
因为三角函数计算较慢,我们可以通过上述公式的一个 polar form(极坐标形式)能够简化计算,
算法描述如下:
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){
return mean+(randomNormalDistribution()*std_dev);
} function randomNormalDistribution(){
var u=0.0, v=0.0, w=0.0, c=0.0;
do{
//获得两个(-1,1)的独立随机变量
u=Math.random()*2-1.0;
v=Math.random()*2-1.0;
w=u*u+v*v;
}while(w==0.0||w>=1.0)
//这里就是 Box-Muller转换
c=Math.sqrt((-2*Math.log(w))/w);
//返回2个标准正态分布的随机数,封装进一个数组返回
//当然,因为这个函数运行较快,也可以扔掉一个
//return [u*c,v*c];
return u*c;
}
因此,假如我们要获得均值为180,要68.26%左右的NPC身高都在[170,190]之内,即1个标准差范围内,因此标准差为10, 可以通过getNumberInNormalDistribution(180,10) 调用,我们实验1000000词,得到结果如下:
// 身高:频率
128:1
132:1
133:1
134:1
135:1
136:2
137:4
138:8
139:11
140:14
141:19
142:28
143:41
144:54
145:80
146:133
147:153
148:235
149:333
150:429
151:598
152:764
153:1059
154:1314
155:1776
156:2290
157:2835
158:3503
159:4373
160:5513
161:6475
162:7809
163:9437
164:11189
165:13282
166:15020
167:17239
168:19215
169:21597
170:24336
171:26684
172:29000
173:31413
174:33179
175:35027
176:37084
177:38047
178:38968
179:39635
180:39700
181:39548
182:38960
183:38674
184:36948
185:35220
186:33224
187:31038
188:29198
189:26668
190:23893
191:21662
192:19476
193:16898
194:15056
195:13046
196:10971
197:9456
198:7928
199:6697
200:5370
201:4334
202:3548
203:2810
204:2330
205:1765
206:1350
207:1093
208:797
209:595
210:371
211:328
212:255
213:165
214:121
215:91
216:71
217:29
218:32
219:28
220:20
221:6
222:7
223:7
224:3
225:2
228:1
绘制成柱状图如下:
可见,这是有着非常明显的正态分布图像特征。
四、由均匀分布叠加获得正态分布
我们需要祭出万能的中心极限定理。
根据独立同分布的中心极限定理:设随机变量X1,X2,...Xn,...相互独立,服从同一分布,且数学期望为μ,标准差为σ (σ>0),则随机变量之和的标准化变量:
Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 近似服从标准正态分布 N(0,1)
如果我们将足够多个均匀分布随机变量相加,相加之和将服从正态分布。但是,我们需要累加多少个均匀分布才能较好低近似正态分布呢?
由于 X~U(0, 1) , 可得 μ=1/2, σ=sqrt(1/12),代入上面的式子即可近似模拟随机变量之和的概率密度函数(p.d.f).
下图是由2个服从 U(0,1) 分布的随机变量相加得到的 p.d.f 图像:
如果我们增加累加的均匀分布的数量会怎样呢?
上图是 n=3 时的图像,可以看到正态分布的形状出来了,但顶端还略为平缓。
特别低,当n=12时 (随机变量(X1+X2+...+Xn)的均值为6,方差为1) 这时有一个很好的特点,公式 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 的分母正好为1,因此简化成了 Y=((X1+X2+...+Xn)-nμ),非常便于编程计算,并且已经非常接近于标准正态分布,请见下图:
也就是说均值为μ,标准差为σ 的独立同分布变量 X1,X2, ..., Xn 的算数平均数 T=(X1+X2+ ...+ Xn)/n,当n充分大时,近似地服从均值为μ,方差为σ*σ/n 的正态分布。
最后,代码如下:
function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){
return mean+(uniform2NormalDistribution()*std_dev);
} function uniform2NormalDistribution(){
var sum=0.0;
for(var i=0; i<12; i++){
sum=sum+Math.random();
}
return sum-6.0;
}
同样,将产生100万个随机数按频率画出直方图如下:
如何产生服从均匀分布的随机数呢?
请见上篇:
Javascript 随机数函数 学习之一:产生服从均匀分布随机数
最新文章
- RecyclerView
- webform 复合控件
- MMC不能打开文件D:\Program Files\Microsoft SQL Server\80\Tools\BINN\SQL Server Enterprise Manager.MSC
- CentOS FTP基于虚拟用户的配置
- JavaWeb学习----JSP脚本元素、指令元素、动作元素
- ASP.NET MVC4中调用WEB API的四个方法
- struts2文件上传类型的过滤
- Python datetime time 常用操作
- jQuery Mobile基础
- Sublime Text 2快捷键大全
- dubbo的简单实现
- Lintcode248 Count of Smaller Number solution 题解
- maven入门(7)maven项目(组件)的坐标
- Mybatis源码分析之缓存
- excel写入操作
- 运行Keras版本的Faster R-CNN(1)
- python第三十天-类
- [No0000BC]ADO.NET中的几个主要对象
- metasploit framework(十二):sql server扫描
- Task 6.2冲刺会议六 /2015-5-19
热门文章
- SpringBoot入门之内嵌Tomcat配置
- 在vue里面使用iVew框架
- 判断一个类是否为另一个类的实例 instanceof关键字和isAssignableFrom方法的区别
- element UI form 验证
- Solr6.5配置中文分词IKAnalyzer和拼音分词pinyinAnalyzer (二)
- spring 后处理器
- hexo 静态页面生成后页面打不开的问题
- 【转】谷歌三大核心技术(二)Google MapReduce中文版
- pyenv docter检测出configure: error: OpenSSL is not installed.解决方案
- Spring Boot + Spring Cloud 实现权限管理系统 后端篇(七):集成 Druid 数据源