BZOJ 4321 queue2
2024-10-15 11:13:06
4321: queue2
Description
n 个沙茶,被编号 1~n。排完队之后,每个沙茶希望,自己的相邻的两人只要无一个人的编号和自己的编号相差为 1(+1 或-1)就行; 现在想知道,存在多少方案满足沙茶们如此不苛刻的条件。
Input
只有一行且为用空格隔开的一个正整数 N,其中 100%的数据满足 1≤N ≤ 1000;
Output
一个非负整数,表示方案数对 7777777 取模。
Sample Input
4
Sample Output
2
样例解释:有两种方案 2 4 1 3 和 3 1 4 2
样例解释:有两种方案 2 4 1 3 和 3 1 4 2
这道题还真没想到是DP。
去年NOIP考前看到此题,当时竟不知DP,只会暴力。至此便叹息痛恨焉。
昨夜又见,虽欣喜,然不知何为。
直到我看见:【bzoj4321】queue2
啊啊啊啊啊!这篇博客已经讲得很详细了。这n个沙茶可以一个一个插入。
状态表示:f[i][j][0..1]=前i个沙茶有j对是相邻的,其中第i个沙茶和第i-1个沙茶相不相邻
初始状态:f[1][0][0]=1
状态转移:
f[i][j][1]<-f[i-1][j][1] 第i个沙茶插在了第i-1个和第i-2个之间
<-f[i-1][j-1][1] 第i个沙茶插在了第i-1个旁边,第i-2个的另一侧
<-f[i-1][j-1][0]*2 第i个沙茶插在了第i-1个的左右两侧(第i-1个不与第i-2个相邻)
f[i][j][0]<-f[i-1][j+1][1]*j 第i个沙茶落了单,干坏事。可以拆散j对,因为不能拆散第i-1个和第i-2个
<-f[i-1][j+1][0]*(j+1) 第i个沙茶落了单,干坏事。可以拆散j+1对
<-f[i-1][j][1]*(i-j-1) 第i个沙茶落了单,兀自玩去了。(i-1+1)-(j+1),不能拆散j对也不能在第i-1个旁边
<-f[i-1][j][0]*(i-j-2) 第i个沙茶落了单,兀自玩去了。(i-1+1)-(j+2),不能拆散j对也不能在第i-1个旁边
答案输出:ans=f[n][0][0]
可用滚动数组。时间O(n^2),空间O(n)。
不过还有递推式:http://oeis.org/A002464 f[n]=(n+1)f[n−1]−(n−2)f[n−2]−(n−5)f[n−3]+(n−3)f[n−4]
此题转移中分类讨论很有意思,是一道很好的题。注意不要爆int。
/**************************************************************
Problem: 4321
User: Doggu
Language: C++
Result: Accepted
Time:484 ms
Memory:852 kb
****************************************************************/ #include <cstdio>
long long n, f[][][], cur, MOD=;
inline void add(long long &a,long long b) {if(b>MOD) b%=MOD;a=a+b>MOD?a+b-MOD:a+b;}
int main() {
scanf("%d",&n);
f[cur][][]=;
for( int i = ; i <= n; i++ ) {
cur^=;
for( int j = ; j <= i-; j++ ) {
f[cur][j][]=f[cur^][j][];
if(j) add(f[cur][j][],f[cur^][j-][]);
if(j) add(f[cur][j][],f[cur^][j-][]*);
f[cur][j][]=f[cur^][j+][]*j;
add(f[cur][j][],f[cur^][j+][]*(j+));
add(f[cur][j][],f[cur^][j][]*(i-j-));
add(f[cur][j][],f[cur^][j][]*(i-j-));
}
}
printf("%d\n",f[cur][][]);
return ;
}
DP
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