题目

\(S(i,j)\)表示第二类斯特林数，求：
\[
f(n)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!
\]

分析

公式推理很简单，关键是用到了第二类斯特林数的通项公式和组合数展开的方法。
\[
\begin{aligned}
f(n)&=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^iS(i,j)*2^j*j! \\
&=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n \frac{1}{j!}\sum _{k=0}^j (-1)^kC_j^k(j-k)^i*2^j*j! \\
&=\sum _{j=0}^n \frac{1}{j!}*2^j*j!\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^j (-1)^k \frac{j!}{k!(j-k)!} (j-k)^i \\
&=\sum _{j=0}^n 2^j*j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum _{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \\
&=\sum _{j=0}^n 2^j*j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k)!(j-k-1)} \\
\end{aligned}
\]
令：
\[
\begin{aligned}
B(x)=\frac{(-1)^x}{x!} \\
C(x)=\frac{x^{n+1}-1}{x!(x-1)}
\end{aligned}
\]
则有：
\[
\begin{aligned}
f(n)=\sum _{j=0}^n 2^j*j!\sum _{k=0}^jB(k)C(k-j)
\end{aligned}
\]
一个卷积的形式，直接用NTT求解即可。这里要注意的是，\(C(0)=1\)，因为我们在这里定义\(0^0=1\)。

代码

NTT写起来很简单，但有几个地方容易错。一定要注意把\(n\)化成整二进制的时候，\(M\)要大于\(2n\)，尽管\(n\)可能本身是\(2\)的整数次幂。例如\(n=1\)，这时\(M\)不能仅仅取到\(2\)，而要取到\(4\)。
``` c++

include

using namespace std;
typedef long long giant;
const giant q=998244353;
const giant g=3;
const giant ig=332748118;
giant read() {
giant x=0,f=1;
char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x10+c-'0';
return xf;
}
const giant maxn=(1<<18)+1;
const giant maxj=19;
giant a[maxn],b[maxn],c[maxn],M,xj,f[maxn],wn[maxj][2];
giant mi(giant x,giant y) {
giant ret=1;
while (y) {
if (y&1) (ret=x)%=q;
y>>=1,(x=x)%=q;
}
return ret;
}

巴特西

bzoj4555-求和

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