B 君的第二题 (hongkong)

题目大意：

一个长度为\(n(n\le2\times10^5)\)的数组，给定一个数\(k(k\le40)\)。用\(a[i][j]\)表示该数组\(i\)次前缀和中第\(j\)项的值，要求支持以下两种操作：

输入\(x,y\)，将\(a[0][x]\)加上\(y\)；
输入\(x\)，求\(a[k][x]\)的值。

思路：

题目询问的实际上就是\(\sum_{i=1}^x\binom{x-i+k-1}{k-1}a[0][i]\)。

我们可以得到

\[\begin{align*}
&\sum_{i=1}^x\binom{x-i+k-1}{k-1}a[0][i]\\
=&\sum_{i=1}^x\sum_{j=0}^{k-1}\binom xj\binom{k-i-1}{k-j-1}a[0][i]\\
=&\sum_{j=0}^{k-1}\binom xj\left(\sum_{i=1}^x\binom{k-i-1}{k-j-1}a[0][i]\right)
\end{align*}
\]

用树状数组维护即可。

时间复杂度\(\mathcal O(mk\log n)\)。

源代码：

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<algorithm>

inline int getint() {

    register char ch;

    register bool neg=false;

    while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';

    register int x=ch^'0';

    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');

    return neg?-x:x;

}

using int64=long long;

constexpr int N=4e5+1,K=41,mod=1e9+7;

int n,m,k,fac[N],ifac[N];

void exgcd(const int &a,const int &b,int &x,int &y) {

	if(!b) {

		x=1,y=0;

		return;

	}

	exgcd(b,a%b,y,x);

	y-=a/b*x;

}

inline int inv(const int &x) {

	int ret,tmp;

	exgcd(x,mod,ret,tmp);

	return (ret%mod+mod)%mod;

}

inline int C(const int &n,const int &m) {

	if(n<m) return 0;

	return (int64)fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;

}

class FenwickTree {

	private:

		int val[K][N];

		int lowbit(const int &x) const {

			return x&-x;

		}

		int query(const int &p,const int &v) const {

			int ret=0;

			if(v==0) return val[k][p];

			for(register int i=1;i<=k;i++) {

				(ret+=(int64)val[i][p]*C(v+k-i-1,v-1)%mod)%=mod;

			}

			return ret;

		}

	public:

		int query(const int &p) const {

			int ret=0;

			for(register int i=p;i;i-=lowbit(i)) {

				(ret+=query(i,p-i))%=mod;

			}

			return ret;

		}

		void modify(const int &p,const int &x) {

			for(register int i=1;i<=k;i++) {

				for(register int j=p;j<=n;j+=lowbit(j)) {

					(val[i][j]+=(int64)C(i+j-p-1,i-1)*x%mod)%=mod;

				}

			}

		}

};

FenwickTree t;

int main() {

	n=getint(),m=getint(),k=getint();

	for(register int i=fac[0]=1;i<=n*2;i++) {

		fac[i]=(int64)fac[i-1]*i%mod;

	}

	ifac[n*2]=inv(fac[n*2]);

	for(register int i=n*2;i;i--) {

		ifac[i-1]=(int64)ifac[i]*i%mod;

	}

	for(register int i=0;i<m;i++) {

		const int opt=getint();

		if(opt==0) {

			const int x=getint(),y=getint();

			t.modify(x,y);

		}

		if(opt==1) {

			printf("%d\n",t.query(getint()));

		}

	}

	return 0;

}

巴特西

B 君的第二题 (hongkong)

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