A decorative fence
2024-09-06 07:48:52
在\(1\sim n\)的全排列\(\{a_i\}\)中,只有大小交错的(即任意一个位置i满足\(a_{i-1}<a_i>a_{i+1}ora_{i-1}>a_i<a_{i+1}\))排列方案才是合法的,询问合法的第c个方案的全排列,\(n\leq 20,c\leq 2^{63}\)。
解
首先是求第几个方案,自然要用试填法,而排列问题不同于普通递推,因为一个数被放在这一个位置就不能在放了,但是注意到排列的一个性质,也就是注重大小关系,故可以考虑离散化递推。
为了试填,自然表现最左端填什么,也要表现序列的长度,为了能够维护序列的合法,不妨把最左端\(a_i>a_{i+1}\)记做,否则记做0,所以设\(f[i][j][k]\)表示长度为i的排列,最左端的数为第j大的数,状态为k的方案数,不难有
\[f[i][j][0]=\sum_{k=j}^{i-1}f[i-1][k][1]
\]
\]
\[f[i][j][1]=\sum_{k=1}^{j-1}f[i-1][k][0]
\]
\]
边界:\(f[1][1][0]=f[1][1][1]=1\),其余为0
于是我们就可以直接利用方案数从小到大试填了,注意第一个位置状态可1,可0,优先填1即可。
参考代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
bool used[21];
ll dp[21][21][2];
il void prepare();
int main(){
int lsy;scanf("%d",&lsy),prepare();
while(lsy--){
int n,last;bool p;ll c;
memset(used,0,sizeof(used));
scanf("%d%lld",&n,&c);
for(int i(1);i<=n;++i){
if(dp[n][i][1]>=c){
last=i,p=1;
break;
}
else c-=dp[n][i][1];
if(dp[n][i][0]>=c){
last=i,p=0;
break;
}
else c-=dp[n][i][0];
}printf("%d ",last),used[last]|=true;
for(int i(2),j,k;i<=n;++i){
p^=true;
for(j=1,k=0;j<=n;++j){
if(used[j])continue;++k;
if((p&&j>last)||(!p&&j<last))
if(dp[n-i+1][k][p]>=c){
last=j,used[j]|=true;
break;
}
else c-=dp[n-i+1][k][p];
}printf("%d ",last);
}putchar('\n');
}
return 0;
}
il void prepare(){
dp[1][1][0]=dp[1][1][1]=1;
for(int i(2),j,k;i<=20;++i)
for(j=1;j<=i;++j){
for(k=j;k<i;++k)dp[i][j][0]+=dp[i-1][k][1];
for(k=1;k<j;++k)dp[i][j][1]+=dp[i-1][k][0];
}
}
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