P1052 过河[DP]

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L0,1,…,L（其中LL是桥的长度）。坐标为00的点表示桥的起点，坐标为LL的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是SS到TT之间的任意正整数（包括S,TS,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为LL的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度LL，青蛙跳跃的距离范围S,TS,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

解析

正常来讲，这是一道再简单不过的dp，状态定义就是到达每个点最少踩到的石子数，转移就是从前\(s\sim t\)步的状态转移过来。

但是，这题数据范围很大，于是运用压缩路径技巧。

显然，如果我们取\(1\sim10\)的最小公倍数，若两点之间距离为这个最小公倍数，那么无论\(s,t\)为何，都可以从上一个点跳到这一个点。因此，我们每遇到两个距离大于该最小公倍数的点，就将这个距离对该最小公倍数取模。

参考代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<cstdlib>

#include<queue>

#include<vector>

#define INF 0x3f3f3f3f

#define PI acos(-1.0)

#define N 350000

#define E 1e-12

#define lcm 2520

using namespace std;

int dp[N],a[N],d[N],l,s,t,m;

bool v[N];

int main()

{

	scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);

	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&a[i]);

	sort(a+1,a+m+1);

	for(int i=1;i<=m;++i) d[i]=(a[i]-a[i-1])%lcm;

	for(int i=1;i<=m;++i){

		a[i]=a[i-1]+d[i];

		v[a[i]]=1;

	}

	l=a[m];

	fill(dp+1,dp+N,m);

	for(int i=0;i<=l+t;++i)

		for(int j=s;j<=t;++j){

			if(i-j>=0) dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]);

			dp[i]+=v[i];

		}

	int ans=INF;

	for(int i=l;i<=l+t;++i)

		ans=min(ans,dp[i]);

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}

巴特西

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