eigen 四元数进行坐标旋转

（《视觉SLAM十四讲》第三讲习题7）设有小萝卜一号和二号在世界坐标系中。一号位姿q1 = [0.35, 0.2, 0.3, 0.1]，t1=[0.3, 0.1, 0.1]。二号位姿q2=[-0.5, 0.4, -0.1, 0.2], t2=[-0.1, 0.5, 0.3].某点在一号坐标系下坐标为p=[0.5, 0, 0.2].求p在二号坐标系下的坐标

假设在世界坐标系中p点的坐标为P。

用四元数做旋转则有（在Eigen中四元数旋转为q×v，数学中则为q×v×q^-1）：

q1 × P + t1 = p1
q2 × P + t2 = p2

由上两式分别解算出：

P = q1^-1 × (p1 - t1)
P = q2^-1 × (p2 - t2)

两式联立求解则得到：

p2 = q2 × q1^-1 × (p1 - t1) + t2

如果用欧拉矩阵（设一号欧拉矩阵为T1，二号欧拉矩阵为T2）则有：

p1 = T1 × P
p2 = T2 × P

求解P：

P = T1^-1 × p1
P = T2^-1 × p2

联立求解则有：

p2 = T2 × T1^-1 × p1

以下则是用Eigen实现的代码：

#include <iostream>

using namespace std;

#include <eigen3/Eigen/Core>

#include <eigen3/Eigen/Geometry>

int main()

{

    //四元数

    Eigen::Quaterniond q1 = Eigen::Quaterniond(0.35, 0.2, 0.3, 0.1).normalized();

    Eigen::Quaterniond q2 = Eigen::Quaterniond(-0.5, 0.4, -0.1, 0.2).normalized();

    //平移向量

    Eigen::Vector3d t1 = Eigen::Vector3d(0.3, 0.1, 0.1);

    Eigen::Vector3d t2 = Eigen::Vector3d(-0.1, 0.5, 0.3);

    //目标向量

    Eigen::Vector3d p1 = Eigen::Vector3d(0.5, 0, 0.2);

    Eigen::Vector3d p2;

    //打印输出

    // cout << q1.coeffs() << "\n"

    //      << q2.coeffs() << "\n"

    //      << t1.transpose() << "\n"

    //      << t2.transpose() << endl;

    //四元数求解

    p2 = q2 * q1.inverse() * (p1 - t1) + t2;

    cout << p2.transpose() << endl;

    //欧拉矩阵

    Eigen::Isometry3d T1 = Eigen::Isometry3d::Identity();

    Eigen::Isometry3d T2 = Eigen::Isometry3d::Identity();

    T1.rotate(q1.toRotationMatrix());

    T1.pretranslate(t1);

    T2.rotate(q2.toRotationMatrix());

    T2.pretranslate(t2);

    // cout << T1.matrix() << endl;

    // cout << T2.matrix() << endl;

    //欧拉矩阵求解

    p2 = T2 * T1.inverse() * p1;

    cout << p2.transpose() << endl;

}

巴特西

eigen 四元数进行坐标旋转

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