[BZOJ3626] [LNOI2014]LCA(树链剖分)

题面

给出一棵N个点的树，要求支持Q次询问，每次询问一个点z与编号为区间[l,r]内的点分别求最近公共祖先得到的最近公共祖先深度和。N, Q≤50000

分析

对于一个点i，我们把i到根节点的路径全部标记+1，然后从z往上找，第一个碰到的标记不为0的节点就是lca(z,i)。而i的深度恰好就是z到根节点路径上的标记和。显然这样的标记是可以叠加的，对于区间[l,r]，我们把编号在[l,r]内的节点到根的路径都标记+1，那么答案就在z到根路径上的标记和。

但是这样直接做还是\(O(n^2)\)的，考虑离线。注意到标记是可减的,那么询问query(l,r,z)就相当于query(1,r,z)-query(1,l-1,z)。

那么我们分两部分维护答案，记query(1,r,z)=ansr,query(1,l-1,z)=ansl，真正的答案就是ansr-ansl.我们对于每个点，保存左端点l-1在此的询问编号，右端点同理。我们从1~n遍历每个节点i，把i到根的路径标记+1。然后看看有没有左端点在i的询问，如果有，就更新ansl，右端点同理

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<vector>

#define maxn 50000

#define mod 201314

using namespace std;

int n,m;

struct edge{

	int from;

	int to;

	int next;

}E[maxn*2+5];

int head[maxn+5];

int esz=0;

void add_edge(int u,int v){

	esz++;

	E[esz].from=u;

	E[esz].to=v;

	E[esz].next=head[u];

	head[u]=esz;

}

int dfn[maxn+5];

int fa[maxn+5];

int son[maxn+5];

int sz[maxn+5];

int deep[maxn+5];

int top[maxn+5];

void dfs1(int x,int f){

	fa[x]=f;

	sz[x]=1;

	deep[x]=deep[f]+1;

	for(int i=head[x];i;i=E[i].next){

		int y=E[i].to;

		if(y!=f){

			dfs1(y,x);

			sz[x]+=sz[y];

			if(sz[son[x]]<sz[y]) son[x]=y;

		}

	}

}

int tim=0;

void dfs2(int x,int t){

	top[x]=t;

	dfn[x]=++tim;

	if(son[x]) dfs2(son[x],t);

	for(int i=head[x];i;i=E[i].next){

		int y=E[i].to;

		if(y!=fa[x]&&y!=son[x]){

			dfs2(y,y);

		}

	}

}

struct segment_tree{

	struct node{

		int l;

		int r;

		long long mark;

		long long v;

		int len(){

			return r-l+1;

		}

	}tree[maxn*4+5];

	void push_up(int pos){

		tree[pos].v=tree[pos<<1].v+tree[pos<<1|1].v;

	}

	void push_down(int pos){

		if(tree[pos].mark){

			tree[pos<<1].mark+=tree[pos].mark;

			tree[pos<<1|1].mark+=tree[pos].mark;

			tree[pos<<1].v+=tree[pos].mark*tree[pos<<1].len();

			tree[pos<<1|1].v+=tree[pos].mark*tree[pos<<1|1].len();

			tree[pos].mark=0;

		}

	}

	void build(int l,int r,int pos){

		tree[pos].l=l;

		tree[pos].r=r;

		if(l==r) return;

		int mid=(l+r)>>1;

		build(l,mid,pos<<1);

		build(mid+1,r,pos<<1|1);

		push_up(pos);

	}

	void update(int L,int R,long long val,int pos){

		if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r){

			tree[pos].mark+=val;

			tree[pos].v+=val*tree[pos].len();

			return;

		}

		push_down(pos);

		int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;

		if(L<=mid) update(L,R,val,pos<<1);

		if(R>mid) update(L,R,val,pos<<1|1);

		push_up(pos);

	}

	long long query(int L,int R,int pos){

		if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r){

			return tree[pos].v;

		}

		push_down(pos);

		int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;

		long long ans=0;

		if(L<=mid) ans+=query(L,R,pos<<1);

		if(R>mid) ans+=query(L,R,pos<<1|1);

		return ans;

	}

}T;

void update_route(int x,int y,int val){

	int tx=top[x],ty=top[y];

	while(tx!=ty){

		if(deep[tx]<deep[ty]){

			swap(x,y);

			swap(tx,ty);

		}

		T.update(dfn[tx],dfn[x],val,1);

		x=fa[tx];

		tx=top[x];

	}

	if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);

	T.update(dfn[x],dfn[y],val,1);

}

long long query_route(int x,int y){

	int tx=top[x],ty=top[y];

	long long ans=0;

	while(tx!=ty){

		if(deep[tx]<deep[ty]){

			swap(x,y);

			swap(tx,ty);

		}

		ans+=T.query(dfn[tx],dfn[x],1);

		x=fa[tx];

		tx=top[x];

	}

	if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);

	ans+=T.query(dfn[x],dfn[y],1);

	return ans;

}

struct query{

	int l;

	int r;

	int z;

	int id;

	long long ansl;

	long long ansr;

}q[maxn+5];

vector<int>lb[maxn+5];

vector<int>rb[maxn+5];

int main(){

	int p;

	scanf("%d %d",&n,&m);

	for(int i=2;i<=n;i++){

		scanf("%d",&p);

		p++;

		add_edge(i,p);

		add_edge(p,i);

	}

	dfs1(1,0);

	dfs2(1,1);

	T.build(1,n,1);

	for(int i=1;i<=m;i++){

		scanf("%d %d %d",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].z);

		q[i].l++;

		q[i].r++;

		q[i].z++;

		q[i].id=i;

		lb[q[i].l-1].push_back(i);

		rb[q[i].r].push_back(i);

	}

	for(int i=1;i<=n;i++){

		update_route(i,1,1);

		for(int j=0;j<lb[i].size();j++){

			int u=lb[i][j];

			q[u].ansl=query_route(q[u].z,1);

		}

		for(int j=0;j<rb[i].size();j++){

			int u=rb[i][j];

			q[u].ansr=query_route(q[u].z,1);

		}

	}

	for(int i=1;i<=m;i++){

		printf("%lld\n",(q[i].ansr-q[i].ansl)%mod);

	}

}

巴特西

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