P4139 上帝与集合的正确用法[欧拉定理]

题目描述

求

\[2^{2^{2\cdots}} ~mod ~p
\]

简单题，指数循环节。

由于当\(b>=\psi(p)\)时，有

\[a^b=a^{b ~mod~\psi(p)+\psi(p)} \pmod p
\]

显然这道题满足这个条件。

那当然是算\(\psi(p)\)然后\(2^{2^{2\cdots}}\)就可以变成

\[2^{2^{2^{2\cdots}}}=2^{(2^{2^{2\cdots}} ~mod~\psi(p)+\psi(p))} \pmod p
\]

啦。

往指数里头进行递归，每次算一个\(\psi(p')\)即可（显然有解）。

边界\(p=1\)时，显然式子\(=0\)。

参考代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<cstdlib>

#include<queue>

#include<vector>

#define INF 0x3f3f3f3f

#define PI acos(-1.0)

#define N 101

#define MOD 2520

#define E 1e-12

#define ll long long

using namespace std;

inline ll read()

{

	int f=1,x=0;char c=getchar();

	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}

	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';;c=getchar();}

	return x*f;

}

inline int phi(int n)

{

	int ans=n;

	for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){

		if(n%i==0){

			ans=ans/i*(i-1);

			while(n%i==0) n/=i;

		}

	}

	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);

	return ans;

}

int p;

inline ll qp(ll a,ll b,ll p)

{

	ll ans=1;

	for(;b;b>>=1){if(b&1)ans=(ans*a)%p;a=(a*a)%p;}

	return ans%p;

}

inline int dfs(ll x)

{

	if(x==1) return 0;

	return qp(2,dfs(phi(x))+phi(x),x);

}

int main()

{

	int t;

	t=read();

	while(t--){

		p=read();

		printf("%lld\n",dfs(p)%p);

	}

	return 0;

}

巴特西

P4139 上帝与集合的正确用法[欧拉定理]

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