题意

给定一张无向图,点有点权,多次询问两点之间路径上点权最小的点的可能的最小值,支持修改点权。

Sol

一棵树就很简单 , 于是我们考虑点双(环)上的情况 , 直观想法就是缩完点双后一个点双的权值直接就是其中的最小值 , 这样我们要讨论的就是路径的起始端可能是在割点上的情况。

直接建一个广义圆方树就没有什么要多考虑的了。

把每一个点双找出来新建方点来代表。这样在圆方树上过了方点就相当与可以在点双里面随便走 , 那么方点的点权自然就是点双里所有点的点权的最小值了。

路径询问和修改点权就用个树剖+线段树。

不过这样的话修改一个圆点的点权时我们要修改它儿子集合的所有方点 , 复杂度就爆炸了。

所以我们对于一个方点不考虑它父亲的权值就行了，那么一个方点的权值就是去掉父亲圆点之后的点双上的点的权值的最小值。只需要最后如果两个点的 LCA 是一个方点的话把他的父亲圆点的权值也用来更新答案就好了。

所以我们还需要一个可删除堆/multiset 来解决点权的变化问题。

要注意的一点是 , 对于桥边不要新建方点 , 容易被卡。

code:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

template<class T>inline void init(T&x){

	x=0;char ch=getchar();bool t=0;

	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;

	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);

	if(t) x=-x;return;

}

int n,m,q;

const int N=1e5+10;

struct edge{int to,next;}a[N<<1];

int val[N],head[N],cnt=0;

inline void add(int x,int y){a[cnt]=(edge){y,head[x]};head[x]=cnt++;}

typedef pair<int,int> PA;

int Tn;

struct Heap{

	priority_queue<int> P,Q;

	inline void Delete(const int x){P.push(-x);}

	inline void push(const int x){Q.push(-x);}

	inline int top(){while(!P.empty()&&!Q.empty()&&P.top()==Q.top()) P.pop(),Q.pop();return -Q.top();}

}H[N];

namespace Tree{

	const int N=2e5+10;

	edge a[N<<1];int head[N],cnt=0,son[N],size[N],top[N],id[N],fa[N],dep[N],I=0,dfn[N];

	inline void add(int x,int y){a[++cnt]=(edge){y,head[x]};head[x]=cnt;}

	void dfs(int u){

		size[u]=1;

		for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next){

			v=a[i].to;if(v==fa[u]) continue;

			fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;dfs(v);

			size[u]+=size[v];

			if(!son[u]||size[son[u]]<size[v]) son[u]=v;

		}return;

	}

	void Dfs(int u,int tp){

		id[u]=++I;dfn[I]=u;top[u]=tp;

		if(!son[u]) return;Dfs(son[u],tp);

		for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next) {

			v=a[i].to;if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;

			Dfs(v,v);

		}return;

	}

#define ls (u<<1)

#define rs (u<<1|1)

	int Mi[N<<2];

	inline void update(int u){Mi[u]=min(Mi[ls],Mi[rs]);return;}

	void Build(int u,int l,int r){

		if(l==r) return void(Mi[u]=val[dfn[l]]);

		int mid=l+r>>1;Build(ls,l,mid),Build(rs,mid+1,r);

		return update(u);

	}

	inline void Prework(){dfs(1);Dfs(1,1);Build(1,1,n);}

	int Query(int u,int l,int r,int L,int R){

		if(l>=L&&r<=R) return Mi[u];int mid=l+r>>1;

		if(mid>=R) return Query(ls,l,mid,L,R);

		if(mid< L) return Query(rs,mid+1,r,L,R);

		return min(Query(ls,l,mid,L,mid),Query(rs,mid+1,r,mid+1,R));

	}

	inline int Query(int u,int v){

		if(u==v) return val[u];

		int ans=min(val[u],val[v]);

		while(top[u]^top[v]) {

			if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);

			ans=min(ans,Query(1,1,I,id[top[u]],id[u]));

			u=fa[top[u]];

		}

		if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);int lca=u;

		ans=min(ans,Query(1,1,I,id[u],id[v]));

		if(lca>Tn) ans=min(ans,val[fa[lca]]);

		return ans;

	}

	void Modify(int u,int l,int r,int p,int x){

		if(l==r) return void(Mi[u]=x);

		int mid=l+r>>1;

		if(mid>=p) Modify(ls,l,mid,p,x);

		else Modify(rs,mid+1,r,p,x);

		update(u);

	}

	inline void Modify(int u,int w){

		int f=fa[u];Modify(1,1,I,id[u],w);

		int vu=val[u];val[u]=w;

		if(f>Tn) {

			int ID=f-Tn;

			H[ID].Delete(vu);H[ID].push(w);

			int nw=H[ID].top();

			if(val[f]!=nw) val[f]=nw,Modify(1,1,I,id[f],nw);

		}

	}

}

#undef ls

#undef rs

PA stk[N];int bel[N],bcc=0,dfn[N],low[N],I=0,top=0;

void tarjan(int u,int ret) {

	dfn[u]=low[u]=++I;

	for(int v,i=head[u];~i;i=a[i].next){

		v=a[i].to;if(ret==(i^1)) continue;

		if(!dfn[v]) {

			stk[++top]=PA(u,v);int nowt=top;

			tarjan(v,i);

			low[u]=min(low[v],low[u]);

			if(low[v]>=dfn[u]) {

				if(top!=nowt){

					++bcc;++n;Tree::add(u,n);

					while(top) {

						int p=stk[top].first,q=stk[top].second;--top;

						if(bel[p]!=bcc) {

							bel[p]=bcc;

							if(p^u) Tree::add(n,p),H[bcc].push(val[p]);

						}

						if(bel[q]!=bcc) {

							bel[q]=bcc;

							if(q^u) Tree::add(n,q),H[bcc].push(val[q]);

						}

						if(p==u&&q==v) break;

					}

					val[n]=H[bcc].top();

				}

				else --top,Tree::add(u,v);

			}

		}

		else if(dfn[v]<dfn[u]) {stk[++top]=PA(u,v);low[u]=min(low[u],dfn[v]);}

	}

}

int main()

{

	init(n),init(m),init(q);Set(head,-1);Tn=n;

	for(int i=1;i<=n;++i) init(val[i]);int u,v;

	for(int i=1;i<=m;++i) {init(u),init(v);add(u,v),add(v,u);}

	tarjan(1,-1);Tree::Prework();

	for(int i=1;i<=q;++i) {

		char ch=getchar();while(ch!='C'&&ch!='A') ch=getchar();

		int a,w,b;

		if(ch=='C') {init(a),init(w);Tree::Modify(a,w);}

		else {init(a),init(b);printf("%d\n",Tree::Query(a,b));}

	}

	return 0;

}

巴特西

【CF487E】Tourists

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