HDU 6053 TrickGCD (莫比乌斯函数)

题意：给一个序列A，要求构造序列B，使得 Bi <= Ai, gcd(Bi) > 1, 1 <= i <= n, 输出构造的方法数。

析：首先这个题直接暴力是不可能解决的，可以先找出最大值mmax和最小值mmin，然后枚举每个gcd，也就是最大公约数d，那么其他数就应该是d 2*d 3*d 4*d ...。如果把每个数的个数求出来。那么答案就是每一种 d 的数量的和，每一种的数量就是 a1 * a2 * a3 ... an，其中是 ai 是第 i 个数所能取到 d 的数量。

这样做复杂度不但很高，而且还有重复的数，比如当d = 2时，假设所以选的B都是 6，6，6，6，....，6,那么当 d = 3 时或者是 d = 6时，同样还可能选择6，6，6，6，...，6，所以这样的算重了，需要把重复的删除，这里就用到莫比乌斯函数，通过它可以直接得到当d = x时是加上还是减去。

就算是去重了，时间复杂度还是很高，要再次进行优化，对于每个 d，我们可以直接求每个数所能选的最大数数量，并且可能通过区间直接进行求取，比如 t = Ai / d，那么它的范围就是 [t*d, t*d+d-1]，这样就能对于每个区间进行处理，把复杂度降到 n*log(n)*log(n)，因为还要用一次快速幂。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#define debug() puts("++++");

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define FOR(x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 1e5 + 5;

const LL mod = 1e9 + 7;

const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};

const int dc[] = {0, 1, 0, -1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

    return r > 0 && r <= n && c > 0 && c <= m;

}

int len;

int prime[maxn];

bool vis[maxn];

int mu[maxn];

int cnt[maxn*2];

void init(){

  mu[1] = 1;

  FOR(2, maxn){

    if(!vis[i]){

      prime[len++] = i;

      mu[i] = -1;

    }

    for(int j = 0; j < len && i * prime[j] < maxn; ++j){

      vis[i*prime[j]] = 1;

      if(i % prime[j])  mu[i*prime[j]] = -mu[i];

      else{

        mu[i*prime[j]] = 0;

        break;

      }

    }

  }

}

LL fast_pow(LL a, int n){

  LL res = 1;

  while(n){

    if(n&1)  res = res * a % mod;

    n >>= 1;

    a = a * a % mod;

  }

  return res;

}

int main(){

  init();

  int T;  cin >> T;

  for(int kase = 1; kase <= T; ++kase){

    ms(cnt, 0);

    scanf("%d", &n);

    int mmin = maxn, mmax = -1;

    FOR(0, n){

      int x;

      scanf("%d", &x);

      ++cnt[x];

      mmin = min(mmin, x);

      mmax = max(mmax, x);

    }

    for(int i = mmin; i <= mmax*2; ++i)  cnt[i] += cnt[i-1];

    LL ans = 0;

    for(int i = 2; i <= mmin; ++i){

      LL tmp = 1;

      int t = mmax / i;

      for(int j = 2; j <= t; ++j)

        tmp = tmp * fast_pow(j, cnt[j*i+i-1] - cnt[j*i-1]) % mod;

      ans = (ans - mu[i] * tmp + mod) % mod;

    }

    printf("Case #%d: %I64d\n", kase, ans);

  }

  return 0;

}

巴特西

HDU 6053 TrickGCD (莫比乌斯函数)

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