51nod-迷宫问题（Dijkstra算法）

关于Dijkstra算法的博文

http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html#anchor2

Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法，也是一个经典的贪心算法。所谓单源图是规定一个起点的图，我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向（或者有向图），所有边权都是非负数。

算法描述：

节点集合V = {}空集合，距离初始化。
节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。

距离数组

起点 d[s] = 0
其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n, i ≠ s。

循环n次

找到节点i 不属于 V，且d[i]值最小的节点i。

V = V + i

对所有满足j V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i, j))。

以下图为例，描述Dijkstra算法的运行过程：

初始，求A点到其他点的最短路径（也称单源最短路径）。

初始化A点

A点有3条边，AB（17），AE（16），AF（1）。

将3条边加入优先队列，此时队列中的元素为（只记录目标点）：

{1 F} | {16 E} | {17 B}

取出队列中最小的元素，{1 F}，F点是一个未处理过的点，因此得到了A点到F点的最短距离。更新距离，变为：

处理F点，F点有4条边。FA（1），FB（11），FD（14），FE（33）。其中FA已经处理过，所以忽略掉。

将3条边加入优先队列，注意，此时加入队列时，所有边的权值需要加上F点到A点的最短距离1。此时队列中的元素为：

{12 B} | {15 D} | {16 E} | {17 B} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{12 B}，B点是一个未处理过的点，因此得到了A点到B点的最短距离。更新距离，变为：

处理B点，B点有4条边。AB（17），BF（11），BC（6），BD（5）。其中AB，BF已经处理过，所以忽略掉。

将2条的权值加上A到B的最短路径12，加入优先队列。此时队列中的元素为：

{15 D} | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{15 D}，D点是一个未处理过的点，因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离，变为：

处理D点，D点有4条边。其中DC（10），DE（4）没有处理过。

将2条的权值加上A到D的最短路径15，加入优先队列。此时队列中的元素为：

{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{16 E}，E点是一个未处理过的点，因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离，变为：

处理E点，E点所连接的边都已经被处理过了。

此时优先队列中的元素为：

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 B}，B点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

{17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 D}，D点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

{18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{18 C}，C点是一个未处理过的点，因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离，变为：

Dijkstra算法的证明：

i V, d[i] = min{d[x] + w(x, i), x V}

我们证明节点i要进入集合V时，d[i]确实是s到i的最短路长度。
归纳证明：起初 d[s] = 0满足条件。

假设之前集合V中的点全部满足假设，现在要加入节点i V，假设任意从s到i的路径P＝ s…x y…i。
其中s..x全部在V中, y V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。

根据d的定义，我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。
而且因为dijkstra选择最小的d加入，所以有d[y] ≥ d[i] 。
于是有路径P的长度， length(P) ≥ d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] ＋ length(y..i) ≥ d[y] ≥ d[i]。
从而d[i]也是最短路的长度。得证。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

Dijkstra算法

你来到一个迷宫前。该迷宫由若干个房间组成，每个房间都有一个得分，第一次进入这个房间，你就可以得到这个分数。还有若干双向道路连结这些房间，你沿着这些道路从一个房间走到另外一个房间需要一些时间。游戏规定了你的起点和终点房间，你首要目标是从起点尽快到达终点，在满足首要目标的前提下，使得你的得分总和尽可能大。现在问题来了，给定房间、道路、分数、起点和终点等全部信息，你能计算在尽快离开迷宫的前提下，你的最大得分是多少么？

输入

第一行4个整数n (<=500), m, start, end。n表示房间的个数，房间编号从0到(n - 1)，m表示道路数,任意两个房间之间最多只有一条道路，start和end表示起点和终点房间的编号。

第二行包含n个空格分隔的正整数(不超过600)，表示进入每个房间你的得分。

再接下来m行，每行3个空格分隔的整数x, y, z (0<z<=200)表示道路,表示从房间x到房间y(双向)的道路,注意，最多只有一条道路连结两个房间, 你需要的时间为z。

输入保证从start到end至少有一条路径。

输出

一行，两个空格分隔的整数，第一个表示你最少需要的时间，第二个表示你在最少时间前提下可以获得的最大得分。

输入示例

输出示例

21 6

大佬的代码

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int MAX = 550;

int co[MAX], dist[MAX], g[MAX][MAX],low[MAX];

int n, m, s, e;

bool vis[MAX];

void dijistra(){

    for(int i = 0; i < n; i ++){

        dist[i] = INF;

    }

    memset(vis,0,sizeof(vis));

    memset(low,0,sizeof(vis));

    dist[s] = 0;

    low[s] = co[s];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){

        int mins = INF, MAx = 0, pos;

        for(int j = 0; j < n; j ++){

            if(!vis[j] && dist[j] < mins){

                pos = j;

                mins = dist[j];

                MAx = co[j];

            }

            if(!vis[j] && dist[j] == mins && MAx < low[j]){

                pos = j;

                MAx = low[j];

            }

        }

        if(mins == INF)break;

        vis[pos] = true;

        for(int j = 1; j <= n; j ++){

            if(!vis[j] && dist[j] > dist[pos] + g[pos][j]){

                dist[j] = dist[pos] + g[pos][j];

                low[j] = low[pos] + co[j];

            }

            if(!vis[j] && low[j] < low[pos] + co[j] && dist[j] == dist[pos]+g[pos][j]){

                low[j] = low[pos] + co[j];

            }

        }

    }

}

int main(){

    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e);

    for(int i = 0; i < n; i ++){

        for(int j = 0; j < n; j ++)

            g[i][j] = (i==j)?0:INF;

    }

    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d",&co[i]);

    for(int i = 0; i < m; i ++) {

        int u, v, w;

        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

        if(g[u][v] > w) {

            g[u][v] = g[v][u] = w;

        }

    }

    dijistra();

    printf("%d %d\n",dist[e],low[e]);

    return 0;

}

巴特西

51nod-迷宫问题（Dijkstra算法）

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