1143: [CTSC2008]祭祀river
2024-08-31 13:50:31
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
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Description
在遥远的东方,有一个神秘的民族,自称Y族。他们世代居住在水面上,奉龙王为神。每逢重大庆典, Y族都
会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着
两个岔口,并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然,水系中不会有环流(下图描述一个环流的例子)。
由于人数众多的原因,Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重,这些祭祀地点的选择必
须非常慎重。准确地说,Y族人认为,如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点,那么祭祀就会失去它神圣
的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上,选择尽可能多的祭祀的地点。
Input
第一行包含两个用空格隔开的整数N、M,分别表示岔口和河道的数目,岔口从1到N编号。
接下来M行,每行包含两个用空格隔开的整数u、v,
描述一条连接岔口u和岔口v的河道,水流方向为自u向v。
N≤100M≤1000
Output
第一行包含一个整数K,表示最多能选取的祭祀点的个数。
Sample Input
4 4
1 2
3 4
3 2
4 2
1 2
3 4
3 2
4 2
Sample Output
2
【样例说明】
在样例给出的水系中,不存在一种方法能够选择三个或者三个以上的祭祀点。包含两个祭祀点的测试点的方案有两种:
选择岔口1与岔口3(如样例输出第二行),选择岔口1与岔口4。
水流可以从任意岔口流至岔口2。如果在岔口2建立祭祀点,那么任意其他岔口都不能建立祭祀点
但是在最优的一种祭祀点的选取方案中我们可以建立两个祭祀点,所以岔口2不能建立祭祀点。对于其他岔口
至少存在一个最优方案选择该岔口为祭祀点,所以输出为1011。
【样例说明】
在样例给出的水系中,不存在一种方法能够选择三个或者三个以上的祭祀点。包含两个祭祀点的测试点的方案有两种:
选择岔口1与岔口3(如样例输出第二行),选择岔口1与岔口4。
水流可以从任意岔口流至岔口2。如果在岔口2建立祭祀点,那么任意其他岔口都不能建立祭祀点
但是在最优的一种祭祀点的选取方案中我们可以建立两个祭祀点,所以岔口2不能建立祭祀点。对于其他岔口
至少存在一个最优方案选择该岔口为祭祀点,所以输出为1011。
Dilworth定理:偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等。
在有向无环图中,有如下的一些定义和性质:
链:一条链是一些点的集合,链上任意两个点x, y,满足要么 x 能到达 y ,要么 y 能到达 x 。
反链:一条反链是一些点的集合,链上任意两个点x, y,满足 x 不能到达 y,且 y 也不能到达 x。
一个定理:最长反链长度 = 最小链覆盖(用最少的链覆盖所有顶点)
对偶定理:最长链长度 = 最小反链覆盖
题目问题可以转化为求最长反链的长度,而最长反链可以由二分图匹配来求
首先用floyd算法判断联通性,建立连通图
接下来建立二分图,左边n个点,右边n个点,按照河道连接
跑一遍二分图匹配
ans=n-二分图最大匹配
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std; const int MAXN=;
int n,m,ans;
int match[MAXN];
bool map[MAXN][MAXN],vis[MAXN]; bool find(int x)
{
for(int i=;i<=n;i++)
if(map[x][i]&&!vis[i])
{
vis[i]=true;
if(match[i]==||find(match[i]))
{
match[i]=x;
return true;
}
}
return false;
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
map[x][y]=;
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
for(int k=;k<=n;k++)
if(map[i][k]&&map[k][j]) map[i][j]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
memset(vis,,sizeof(vis));
if(find(i)) ans++;
}
printf("%d\n",n-ans);
return ;
}
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