BZOJ1013球形空间产生器sphere 高斯消元
2024-08-22 20:32:30
@[高斯消元]
Description
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球
面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。
Input
第一行是一个整数\(n(1<=N=10)\)。接下来的\(n + 1\)行,每行有\(n\)个实数,表示球面上一点的\(n\)维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位,且其绝对值都不超过\(20000\)。
Output
有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(\(n\)个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后\(3\)位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
Sample Input
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
Sample Output
0.500 1.500
HINT
提示:给出两个定义:1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为\((a_1, a_2 .. a_n), (b_1, b_2 .. b_n)\), 则AB的距离定义为:\(dist = \sqrt{(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2 + .. + (a_n - b_n) ^ 2}\)
Solution
這題很尷尬的一點就是方程帶有二次項, 而且半徑也尚不能確定.
然而又發現, 這題只有\(n\)個未知數, 但是給了\(n + 1\)個點的座標. 因此, 這一題可以通過作差的方式把二次项降到一次項. 具體來說, 就是:
原式:
\[(a_1 - x_1) ^ 2 + (a_2 - x_2) ^ 2 + .. + (a_n - x_n) ^ 2 = r ^ 2
\]
\]
\[(b_1 - x_1) ^ 2 + (b_2 - x_2) ^ 2 + .. + (b_n - x_n) ^ 2 = r ^ 2
\]
\]
作差後:
\[(a_1 - x_1) ^ 2 + (a_2 - x_2) ^ 2 + .. + (a_n - x_n) ^2 = (b_1 - x_1) ^ 2 + (b_2 - x_2) ^ 2 + .. + (b_n - x_n) ^ 2
\]
\]
即
\[2 * (a_1 - b_1) * x_1 + (a_2 - b_2) * x_2 + .. + (a_n - b_n) * x_n = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + .. + a_n ^ 2 - b_1 ^ 2 - b_2 ^ 2 - .. - b_n ^ 2
\]
\]
因此\(n - 1\)個座標得到\(n\)個線性方程組, 可以用高斯消元發解決.
至於關於高斯消元發的具體步驟, 直接看代碼就好了.
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1 << 4;
double f[N];
double equa[N][N];
inline double sqr(double x)
{
return x * x;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("BZOJ1013.in", "r", stdin);
freopen("BZOJ1013.out", "w", stdout);
#endif
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i ++)
scanf("%lf", &f[i]);
memset(equa, 0, sizeof(equa));
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
{
double x;
scanf("%lf", &x);
equa[i][j] = 2 * (x - f[j]);
equa[i][n] += sqr(x) - sqr(f[j]);
}
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
double mx = - 1.0;
int ID;
for(int j = i; j < n; j ++)
if(fabs(equa[j][i]) > mx)
mx = fabs(equa[j][i]), ID = j;
swap(equa[ID], equa[i]);
for(int j = 0; j < n; j ++)
if(i != j)
for(int k = n; ~ k; k --)
equa[j][k] -= equa[j][i] / equa[i][i] * equa[i][k];
}
for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
printf("%.3lf ", equa[i][n] / equa[i][i]);
printf("%.3lf\n", equa[n - 1][n] / equa[n - 1][n - 1]);
}
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