part 6

接下来就是无监督学习算法了。

k均值聚类

问题背景

样本集描述：
\[
x\in D, x\in R^n
\]
之前的有监督学习问题中，所有的x都有对应的y。但是如果我们的x没有对应的y。但是我们还是希望对x进行分类那应该如何做呢。

迭代过程

最简单的想法就是圈地。对每个类别圈一定的样本。即类似于构造一个星团的过程，我们希望星团有一个中心，属于这个星团的星星离这个星团越近越好。不属于这个星团的星星离这个中心越远越好。但是这个中心的选取也是未知的，于是我们给出一个迭代算法：

任意选取k个聚类中心\(\mu_k\)
计算样本的类型\[c ^ { ( i ) } : = \arg \min _ { j } \| x ^ { ( i ) } - \mu _ { j } \| | ^ { 2}\]
重新计算各个聚类中心 \[\mu _ { j } : = \frac { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ c ^ { ( i ) } = j \right\} x ^ { ( i ) } } { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ c ^ { ( i ) } = j \right\} }\]
回到2直到收敛，即聚类中心重新计算变得不大时

迭代过程如下图所示

这里收敛性的证明请翻阅讲义。

EM算法

问题背景

再讲EM之前先回顾一下之前我们求分布参数用的最大似然。比如一个班级分为男生和女生，我们假设男生和女生的身高服从正态分布。那么正态分布的参数就可以用最大似然法来求解。但是如果把男生和女生混起来，我们怎么求这个分布呢。或者我们说我们手上有一个班级的身高数据，但是不知道是男生还是女生的。我们想要对其分别求出男生和女生的身高的正态分布参数。

迭代过程

那么直观理解EM算法的话，EM算法就是一个存在隐变量的最大似然法。所谓的隐变量就是对于x我们所不知道的那个类别y。于是EM算法做的事情其实就是两步：

拿出一个人的身高数据，先猜测它到底是男是女
根据猜测的结果求分布的参数

公式化描述的话就是这么个过程：
这是我们最初求参数用的对数似然：
\[
\theta ^ { * } = \arg \max _ { \theta } \ln P ( X | \theta )
\]
因为存在隐变量z：
\[
\theta ^ { * }= \arg \max _ { \theta } \ln\sum _ { z } P ( X ,z | \theta )
\]
对数似然即：
\[
\left.\begin{aligned} L ( \theta ) & = \ln P ( X | \theta ) \\ & = \ln \sum _ { z } P ( X ,z | \theta ) \end{aligned} \right.
\]
因为z不好求，稍微做一下处理：
\[
L(\theta)= \ln \sum _ { z } P ( X ,z | \theta ) \frac { Q ( z ) } { Q ( z ) }
\]
利用log函数凹函数的性质和琴声不等式得到下界：
\[
L(\theta)\geq \sum _ { z } Q ( z ) \ln \frac { P ( X ,z | \theta ) } { Q ( z ) }
\]

那么我们EM算法就是：

E步。先似然最大化求z的分布Q(z)：\[Q _ { n } ( z ) = \arg \max _ { \mathcal { Q } ( z ) } \sum _ { z } Q ( z ) \ln \frac { P \left( X ,z | \theta _ { n } \right) } { Q ( z ) }\] 利用拉格朗日算子可以得到，详细推导请翻阅参考：\[\Rightarrow Q _ { n } ( z ) = P \left( z | X ,\theta _ { n } \right)\] 这样我们就得到了隐变量的估计。
M步。既然我们已经得到了类别，再最大似然一次\[\left.\begin{aligned} \theta ^ { n + 1} & = \arg \max _ { \theta } l ( \theta ) \\ & = \arg \max _ { \theta } \sum _ { z } P \left( z | X ,\theta ^ { n } \right) \ln \frac { P ( X ,z | \theta ) } { P \left( z | X ,\theta ^ { n } \right) } \\ & = \arg \max _ { \theta } \sum _ { z } P \left( z | X ,\theta ^ { n } \right) \ln P ( X ,z | \theta ) ) \\ & = \arg \max _ { \theta } E _ { z | X ,\theta ^ { n } } ( \ln P ( X ,z | \theta ) ) \end{aligned} \right.\] 这样就得到了其他参数的估计。

高斯混合模型

问题背景

之前生成式的分类算法里面讲到了高斯辨别分析。我们构造了一个高斯分布去拟合不同的类别。那么这个高斯混合模型也是差不多的。只是多了一个隐变量z，这个z又可以通过EM算法来进行求解。

迭代过程

和高斯判别分析一样我们的对数似然是：
\[
\ell ( \phi ,\mu ,\Sigma ) = \sum _ { i = 1} ^ { m } \log p \left( x ^ { ( i ) } ; \phi ,\mu ,\Sigma \right)
\]
注意y的分布是一个多项式分布而不是伯努利分布，然后引入隐变量z：
\[
\ell ( \phi ,\mu ,\Sigma ) = \sum _ { i = 1} ^ { m } \log \sum _ { z ^ { ( i ) } = 1} p \left( x ^ { ( i ) } | z ^ { ( i ) } ; \mu ,\Sigma \right) p \left( z ^ { ( i ) } ; \phi \right)
\]
假设我们知道z的分布，那么似然函数可以化简成：
\[
\ell ( \phi ,\mu ,\Sigma ) = \sum _ { i = 1} ^ { m } \log p \left( x ^ { ( i ) } | z ^ { ( i ) } ; \mu ,\Sigma \right) + \log p \left( z ^ { ( i ) } ; \phi \right)
\]

对参数分别求导就得到了
\[
\phi _ { j } = \frac { 1} { m } \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ z ^ { ( i ) } = j \right\}
\]
\[
\mu _ { j } = \frac { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ z ^ { ( i ) } = j \right\} x ^ { ( i ) } } { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ z ^ { ( i ) } = j \right\} }
\]
\[
\Sigma _ { j } = \frac { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ z ^ { ( i ) } = j \right\} \left( x ^ { ( i ) } - \mu _ { j } \right) \left( x ^ { ( i ) } - \mu _ { j } \right) ^ { T } } { \sum _ { i = 1} ^ { m } 1\left\{ z ^ { ( i ) } = j \right\} }
\]
到目前为止。我们的求解过程还是和之前的高斯判别分析一样。但是这里有一个问题就是实际上隐类别z是不知道的。所以我们可以用E步进行估计。
EM算法如下：

E步估计类别\[w _ { j } ^ { ( \text{i} ) } : = p \left( Z ^ { ( i ) } = j | x ^ { ( i ) } ; \Phi ,\mu ,\Sigma \right)\]利用贝叶斯可以得到\[p \left( z ^ { ( i ) } = j | x ^ { ( i ) } ; \phi ,\mu ,\Sigma \right) = \frac { p \left( x ^ { ( i ) } | z ^ { ( i ) } = j ; \mu ,\Sigma \right) p \left( z ^ { ( i ) } = j ; \phi \right) } { \sum _ { l = 1} ^ { k } p \left( x ^ { ( i ) } | z ^ { ( i ) } = l ; \mu ,\Sigma \right) p \left( z ^ { ( i ) } = l ; \phi \right) }\]
M步更新参数\[\phi _ { j } : = \frac { 1} { m } \sum _ { i = 1} ^ { m } w _ { j } ^ { ( i ) }\] \[\mu _ { j } : = \frac { \sum _ { i = 1} ^ { m } w _ { j } ^ { ( i ) } x ^ { ( i ) } } { \sum _ { i = 1} ^ { m } w _ { j } ^ { ( i ) } }\] \[\Sigma _ { j } \quad = \frac { \sum _ { i = 1} ^ { m } w _ { j } ^ { ( i ) } \left( x ^ { ( i ) } - \mu _ { j } \right) \left( x ^ { ( i ) } - \mu _ { j } \right) ^ { T } } { \sum _ { i = 1} ^ { m } w _ { j } ^ { ( i ) } }\]

巴特西

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