negative binomial(Pascal) distribution —— 负二项式分布(帕斯卡分布)
2024-08-31 21:58:01
1. 定义
假设一串独立的伯努利实验(0-1,成功失败,伯努利实验),每次实验(trial)成功和失败的概率分别是 p 和 1−p。实验将会一直重复下去,直到实验失败了 r 次。定义全部实验中成功的次数为随机变量 X,则:
X∼NB(r;p)
2. PMF(概率质量函数)
f(k;r,p)≡Pr(X=k)=(r+k−1k)pk(1−p)r
- 最后一次显然为失败,前 r+k−1 中发生 k 次成功;
之所以称其为 negative binomial distribution(负二项式分布),在于:
(r+k−1k)=(r+k−1)!k!(r−1)!===(r+k−1)(r+k−2)…(r)k!(−1)k(−r)(−r−1)…(−r−k+1)k!(−1)k(−rk)
此时不妨对其能否构成概率分布进行简单验证:
∑kPr(X=k)====(1−p)r∑k(−1)k(−rk)pk(1−p)r∑k(−rk)(−p)k(1−p)r⋅(1−p)−r1
3. 负二项分布与泊松分布的关系
想要负二项分布中出现 λ,不妨令 p=λλ+r,当 r→∞:
fX(x)====(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!pk(1−p)r(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!λk(λ+r)k(rλ+r)rλkk!(1(1+λr)r)λkk!e−λ
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