走进矩阵树定理--「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
n,m<=200,n*m的方阵,有ULRD表示在这个格子时下一步要走到哪里,有一些待决策的格子用.表示,可以填ULRD任意一个,问有多少种填法使得从每个格子出发都能走出这个方阵,答案取模。保证未确定的格子<=300。
。。。一脸懵逼地写了原本30实际20的暴力然后跪着啃了下论文
然而什么都没啃懂不如结论记下来:
首先矩阵行列式的定义:一个n*n的矩阵,行列式值为$\sum_{b是n的一个排列} \ \ \ \ \ ( (-1)^{b的逆序对数} \ \ \ \ \ * \prod_{i=1}^{n} A_{i,b_i})$
矩阵A行列式的性质:
|A|=|A的转置|
|AB|=|A||B|
|A|+|B|=|A和B的某一行加起来其他不变的矩阵|
交换两行得B,|B|=-|A|,因为每次计算一个排列时逆序对数都相差1。
A的某行乘个x得B,|B|=x|A|。
A的某行乘某个数加到另一行上得B,|B|=|A|。由第三条可得。
每行每列和为0的矩阵行列式为0。
由四五六条可用高斯消元计算行列式。
基尔霍夫矩阵:
无向图:矩阵对角线上是度数,其他如果对应边存在就是-1,不然就是0。
有向图:矩阵对角线上是入度,其他如果对应边存在就是-1,不然就是0。
矩阵树定理:一个无向图的基尔霍夫矩阵的任意一个n-1阶的子矩阵,即删掉了第i行和第i列,的行列式是这个图的生成树个数。
一个有向图以点i为根的生成树个数是基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列剩下的矩阵的行列式。
如果图为多图,作如下修改:
当$i \neq j$而有重边时,把邻接矩阵的1改成$i$,$j$间的边数;
当$i = j$而有自环时,自环不可能出现在生成树中,统计度数时记得忽略之。
嗯然后就是这道题。
首先,如果在外界虚拟一个节点,把所有指出去的格子都指向它,把所有确定格子向指向的点连边,可得一个有向图。
然后,待确定的点向四个方向都连边,求这个图以外界点为根的反向的树形图即可。为什么呢,首先确定的格子的边一定会选到,因为每个格子只有一条出边,不然他就和其他点断掉了;其次那些待确定的格子为了形成树,只会在四个方向里选一个。
嗯这样只能拿50分。
可以发现那些已经确定的点是多余的,可以缩掉。也就是给所有待确定格子编号,外界点编号0,然后预处理他往上下左右走能遇到的第一个有编号的格子,朝他们连边即可。
然后就大功告成了。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
//#include<queue>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<iostream>
using namespace std; int n,m,K,T;
const int mod=1e9+;
#define maxn 311
int pos[maxn][maxn],who[maxn][maxn],place[maxn][]; char mp[maxn][maxn]; int powmod(int a,int b)
{
int ans=;
while (b)
{
if (b&) ans=1ll*ans*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=;
}
return ans;
} struct Mat
{
int num[maxn][maxn];
void clear() {memset(num,,sizeof(num));}
}mat;
int gauss()
{
int ans=;
for (int i=;i<=K;i++)
{
int id=i;
for (int j=i+;j<=K;j++) if (fabs(mat.num[j][i])>fabs(mat.num[id][i])) id=j;
if (id!=i)
{
ans=1ll*ans*(mod-)%mod;
for (int j=i;j<=K;j++) {int t=mat.num[i][j]; mat.num[i][j]=mat.num[id][j]; mat.num[id][j]=t;}
}
int tmp=powmod(mat.num[i][i],mod-);
for (int j=i+;j<=K;j++)
for (int k=K;k>=i;k--)
mat.num[j][k]-=mat.num[i][k]*1ll*mat.num[j][i]%mod*tmp%mod,
mat.num[j][k]+=mat.num[j][k]<?mod:;
}
for (int i=;i<=K;i++) ans=1ll*ans*mat.num[i][i]%mod;
return ans;
} int vis[maxn][maxn],Time; bool die;
void dfs(int x,int y)
{
if (mp[x][y]=='.') return;
if (vis[x][y])
{
if (pos[x][y]==-) die=;
return;
}
vis[x][y]=;
int tx=x,ty=y;
if (mp[x][y]=='U') x--;
else if (mp[x][y]=='D') x++;
else if (mp[x][y]=='L') y--;
else if (mp[x][y]=='R') y++;
if (x< || x>n || y< || y>m) pos[tx][ty]=;
else pos[tx][ty]=-,dfs(x,y),pos[tx][ty]=pos[x][y];
}
int check(int x,int y)
{
if (x< || x>n || y< || y>m) return ;
return pos[x][y];
} int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m); K=; Time=; die=;
memset(vis,,sizeof(vis));
memset(pos,,sizeof(pos));
for (int i=;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+);
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]=='.') pos[i][j]=++K;
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]!='.') dfs(i,j);
if (die) {puts(""); continue;} for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]=='.')
{
int nx=i,ny=j,now=pos[i][j];
nx++; place[now][]=check(nx,ny); nx--;
nx--; place[now][]=check(nx,ny); nx++;
ny++; place[now][]=check(nx,ny); ny--;
ny--; place[now][]=check(nx,ny); ny++;
}
mat.clear();
for (int i=;i<=K;i++)
{
for (int j=;j<;j++) mat.num[place[i][j]][i]--;
mat.num[i][i]+=;
}
for (int i=;i<=K;i++)
for (int j=;j<=K;j++)
if (mat.num[i][j]<) mat.num[i][j]+=mod;
printf("%d\n",gauss());
}
return ;
}
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