Bloom Filter 算法

Bloom filter是由Burton Bloom 在1970年提出的，其后在P2P上得到了广泛的应用。Bloom filter 算法可用来查询某一数据是否在某一数据集合中。其长处是查询效率高、可节省空间。但其缺点是会存在一定的错误。因此Bloom filter 算法仅仅能应用于那些同意有一定错误的场合。可使用Bloom filter 算法的场合包含字典软件、分布式缓存、P2P网络和资源路由等等。

使用Bloom Filter我们能够推断一个元素是否在某一个集合中。假设这个集合是使用线性结构存储的话。其查找的时间复杂度是O(n)；使用像二叉树或B-tree这种树形结构存储的话其查找的时间复杂度是O(logn)。而使用Bloom Filter在能够容忍一定错误率的情况下，其时间复杂度是O(1)。因此，与传统的权衡空间或时间的算法不同，Bloom Filter 极其巧妙。通过引入一定的错误率来换取时间和空间，在某些应用大大提高了性能。

Bloom Filter 算法应用

使用Bloom Filter算法查找某个元素是否属于某个集合是常数时间，并且Bloom Filter使用的是位数组，大大降低了空间。

尽管有一定的错误率。但对于那些同意有一定错误的场合则十分有效。

使用Bloom Filter还能够进行垃圾邮件过滤。由于垃圾邮件的数量是很巨大的。假设将所有的垃圾邮件的地址都存到数据库再进行垃圾邮件过滤，则其性能会很低下。

此时假设通过垃圾邮件的地址创建Bloom Filter，并把Bloom Filter的位数组放到内存中，那么在进行垃圾邮件过滤时就很高效了。

在HTTP缓存server中。能够使用Bloom Filter来加快推断Url是否在代理server的缓存中。

在代理server中，首先用缓存页面的Url通过哈希算法创建一个Bloom Filter的位数组。

假设有多个代理server。还能够将自己的位数组传送给其他代理server，以加快缓存查询速度。当有HTTP请求来时。就先在代理server中查看是否有此Url的缓存，假设没有，则查看是否在其他代理server中。再没有的话才会去主server提取页面。能够看出，使用Bloom Filter查询某Url是否在缓存中很快，假设出现错误的情况则最多到主server提取页面。并且由于Bloom Filter大大降低了空间的使用，使其在网络上传输更加高速。

在web爬虫中，也可使用Bloom Filter。当web爬虫处理了一个页面时，首先会通过Bloom Filter推断这个页面是否已经处理过，假设没处理过就对其进行处理并将其加到Bloom Filter中。在web爬虫假设出现误判，则最多对同一个Url多处理几次，并不影响web爬虫的性能。通过Bloom Filter反而大大提高了web爬虫的性能。

总而言之。Bloom Filter近些年来得到了广泛的应用，通过使用Bloom Filter能够加快对海量数据的查询，提高应用的性能。

Bloom Filter算法思想

Bloom Filter算法就是对于有n个元素的集合S={x1, x2,……,xn}，我们用k个哈希函数(h1,h2,……,hn)，分别将S中的每一个元素映射到一个m位的位数组(b_m-1b_m-2……b₁b₀)中。该位数组在初始化时所有置为0，每当用哈希函数映射到该位时则将该位置为1。对于已经置为1的位则不在反复置1。

比如。将S={x1,x2,x3}这个集合用3个哈希函数映射到一个14位的位数组中，如图所看到的：

能够看出。假设要查找一个元素是否在这个集合中。则仅仅要将该元素进行k次哈希。假设其相应的位所有为1的话则说明该元素在这个集合中。否则，仅仅要有当中一位为0。则说明该元素不在这个集合中。

如图所看到的，x2在集合中，而x4不在集合中。

Bloom Filter会产生错误也就是由于对某个元素进行k次哈希后相应的位所有为1，因此错误地将这个元素判定为在这个集合中，但实际上这个元素并不在这个集合中。如图所看到的。x5实际并非这个集合的元素：

要将一个元素增加这个集合很easy，仅仅要将这个元素进行k次哈希后将相应的位置1即可了。

但假设要从这个集合中删除一个元素，那么使用上面的位数组就不行了。由于假设仅仅是简单地将k次哈希后相应的位置0，而其他在这个集合中的元素也可能会映射到该位，这样这个集合就出错了。

因此，对于要进行删除的情况，则应该使用Bloom Filter的变体算法：计数Bloom Filter。

计数Bloom Filter位数组的每一个元素并非仅仅有1位。而可能是2位或很多其他位(视情况而定)。如图就是使用2位位数组的样例：

在这种情况下，假设要删除一个元素，则仅仅要将相应位的计数减1即可了。

删除了x2之后如图所看到的：

Bloom Filter算法分析

如今来分析一下标准的Bloom Filter的错误率。

刚開始时，m位的位数组初化为0，进行一次哈希并设某一位为1后位数组中某一位为0的概率为：(m-1)/m。而当对n个元素进行k次哈希后位数组中某一位为0的概率为：

p = ((m-1)/m)^kn = (1 – 1/m)^kn,

一个不在集合中的元素进行k次哈希后相应的位都为1。因此，Bloom Filter的错误率为：

f = (1 – (1 - 1/m)^kn)^{k ,}

由于

因此：

p = (1 – 1/m)^kn = e^-kn/m

即 k = -m·ln(p)/n,

f = (1 – e^-kn/m)^k

= exp(ln(1-e^-kn/m)^k)

= exp(kln(1-e^-kn/m))

= exp(-m·ln(p)·ln(1-p)/n)

由于exp(x)是一个递增函数，为了使错误率f最小。那么-m·ln(p)·ln(1-p)/n就应该取最小值。

依据对称性法则能够看出。当p = 1/2时-m·ln(p)·ln(1-p)/n取得最小值，即k = -m·ln(p)/n = m·ln2 / n。

所以当哈希函数的个数k = m·ln2 / n时，能够使得错误率最小。

又由于p=1/2是对n个元素进行k次哈希后位数组中某一位为0的概率，此时位数组中0和1各占一半。即当让位数组有一半是空的时，能够使错误率最低。