洛谷2805 [NOI2009]植物大战僵尸（拓扑排序+最小割）

坚决抵制长题面的题目！

首先观察到这个题目中，我们会发现，我们对于原图中的保护关系（一个点右边的点对于这个点也算是保护）

相当于一种依赖。

那么不难看出这个题实际上是一个最大权闭合子图模型。

我们直接对于权值为负数的边，\(S\rightarrow now\)，流量是\(-a[i][j]\)，表示打掉他要花这么多的代价。

对于权值为正的边，\(now \rightarrow T\) ，流量是\(a[i][j]\)，表示如果割掉这个边，表示放弃他的收益。

（这里之所以\(S和T\)不能反过来，因为我们跑最小割的时候，是要保证S到T不连通，所以你要让负的权值与S相连，才会让依赖关系有意义）

对于每个点，向他保护的点连边，边权为\(inf\)。表示这个关系不能打破。

同时一个点右边的点，向这个点连边，流量也是\(inf\)，因为右边的点要比左边的点先被打。

最后的答案就是\(正权值的sum - 最小割\)（总的收益，减去花费和舍去的。）

那么建出来图，我们会发现其实这个是有问题的。

因为可能存在环的情况。

（\(A保护B，B保护A\)）

那么应该怎么办呢？

我们发现如果存在一个环，那么环能保护到的点，以及再往后的点，都是无敌的！

所以合法的点，就是从起点开始，找到所有的满足起点到这个点的所有路径都不经过环的点。

那么这个可以通过拓扑排序来实现。

qwq

只需要一开始先把所有的依赖关系，跑一遍拓扑排序。

然后选出来有效的点，再建图就ok

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<map>

#include<set>

#define mk make_pair

#define ll long long

#define pb push_back

using namespace std;

inline int read()

{

  int x=0,f=1;char ch=getchar();

  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}

  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}

  return x*f;

}

const int maxn = 3010;

const int maxm = 2e6+1e2;

const int inf = 1e9;

int n,m,cnt=1;

int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm],val[maxm];

int h[maxn],in[maxn];

int s,t;

int a[maxn][maxn];

int sum;

int num;

int dfn[maxn];

int tag[maxn];

vector<int> v[maxn];

void init()

{

	cnt=1;

	memset(point,0,sizeof(point));

	memset(in,0,sizeof(in));

}

void add(int x,int y)

{

	nxt[++cnt]=point[x];

	to[cnt]=y;

	point[x]=cnt;

	in[y]++;

}

void addedge(int x,int y,int w)

{

	nxt[++cnt]=point[x];

	to[cnt]=y;

	val[cnt]=w;

	point[x]=cnt;

}

void insert(int x,int y,int w)

{

	addedge(x,y,w);

	addedge(y,x,0);

}

queue<int> q;

bool bfs(int s)

{

	memset(h,-1,sizeof(h));

	h[s]=0;

	q.push(s);

	while (!q.empty())

	{

		int x = q.front();

		q.pop();

		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])

		{

			int p=to[i];

			if (h[p]==-1 && val[i]>0)

			{

				h[p]=h[x]+1;

				q.push(p);

			}

		}

	}

	if (h[t]==-1) return false;

	return true;

}

int dfs(int x,int low)

{

    if (x==t || low==0) return low;

    int totflow=0;

    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])

    {

    	int p = to[i];

    	if (h[p]==h[x]+1 && val[i]>0)

    	{

    		int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));

    		val[i]-=tmp;

    		val[i^1]+=tmp;

    		low-=tmp;

    		totflow+=tmp;

    		if (low==0) return totflow;

		}

	}

	if (low>0) h[x]=-1;

	return totflow;

}

int dinic()

{

	int ans=0;

	while (bfs(s))

	{

		ans=ans+dfs(s,inf);

	}

	return ans;

}

int getnum(int x,int y)

{

	return (x-1)*m+y;

}

void tpsort()

{

	while (!q.empty()) q.pop();

	for (int i=1;i<=num;i++)

	{

		if (!in[i]) q.push(i),tag[i]=1,dfn[i]=1;

	}

	while (!q.empty())

	{

		int x = q.front();

		q.pop();

		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])

		{

			int p=to[i];

			in[p]--;

			if (!in[p])

			{

				dfn[p]=dfn[x]+1;

				q.push(p);

				tag[p]=1;

			}

		}

	}

}

int main()

{

  n=read(),m=read();

  num=n*m;

  for (int i=1;i<=n;i++)

    for (int j=1;j<=m;j++)

    {

    	a[i][j]=read();

        int num = read();

        for (int k=1;k<=num;k++)

        {

        	int x=read(),y=read();

        	x++,y++;

        	v[getnum(i,j)].pb(getnum(x,y));

        	add(getnum(i,j),getnum(x,y));

		}

	    if (j!=m) add(getnum(i,j+1),getnum(i,j));

	}

  tpsort();

  init();

  s=maxn-10;

  t=s+1;

  for (int i=1;i<=n;i++)

    for (int j=1;j<=m;j++)

    {

    	int now=getnum(i,j);

    	if(!tag[now]) continue;

    	if(a[i][j]>0) sum+=a[i][j];

    	for (int k=0;k<v[now].size();k++)

    	  if (tag[v[now][k]]) insert(now,v[now][k],inf);

    	if (a[i][j]>0) insert(now,t,a[i][j]);

    	else insert(s,now,-a[i][j]);

	}

  for (int i=1;i<=n;i++)

  {

  	 for (int j=1;j<=m;j++)

  	 {

  	 	int now = getnum(i,j);

  	 	int ri  = getnum(i,j+1);

  	 	if (j==m) continue;

  	 	if (!tag[now] || !tag[ri]) continue;

  	 	if (dfn[ri]>dfn[now]) swap(now,ri);

  	 	insert(ri,now,inf);

	 }

  }

  cout<<sum-dinic();

  return 0;

}

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