Part III 中值定理与一元微分学应用

Part III 中值定理与一元微分学应用

1. 中值定理

费马定理

\[设f(x)在x=x_{0}处 \begin{cases}
1) & 可导 \\
2) & 取极值
\end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0
\]

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罗尔定理

\[设f(x)满足以下三个条件 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)可导 \\
3) & f(a)=f(b)
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0
\]

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拉格朗日中值定理

\[设f(x)满足以下两个条件 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)内可导
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]

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柯西中值定理

\[设f(x)，g(x)满足 \begin{cases}
1) & [a,b]连续 \\
2) & (a,b)内可导 \\
3) & {g}'(x)\neq0
\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\]

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柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系

柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理

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涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理

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罗尔定理的应用范式

$f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0$

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罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径

关键：$F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0$

两个途径：

求导公式逆用法
积分还原法
1. 将欲证结论中的$\xi 改为 x$
2. 积分，令c=0
3. 移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)

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2. 单调性与极值

导数的几何应用有哪些

三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线

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极值的定义需要注意的地方

必须是双侧定义，否则不考虑极值

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广义极值

$\exists x_{0}的某个邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点$

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狭义极值（真正极值）

$\exists x_{0}的某个【去心】邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点$

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单调性与极值判别

$若{f}'(x)>0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递减；$
\[ 若f(x)在x= x_{0}处连续，在U(x_{0}, \delta)内可导，则\begin{cases}
当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)<0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)>0，\Rightarrow 极小 \\
当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)>0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)<0，\Rightarrow 极大 \\
若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})与(x_{0}, x_{0}+\delta)内不变号 \Rightarrow 不是极值
\end{cases}
\]
$若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 极小值；若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 极大值$

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3. 零碎问题

函数的凹凸性

\[\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases}
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)，是凹曲线 \\
\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)，是凸曲线
\end{cases}
\]

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函数拐点

连续曲线凹凸弧的分界点

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拐点判别法

设f(x)在I上二阶可导

$
\begin{cases}
若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\
若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的
\end{cases}
$
$若f(x)在x_0点的左右邻域{f}''(x)变号 \Rightarrow (x_0,f(x_0))为拐点$

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铅直渐近线

$若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，则称x=x_0为f(x)的一条铅直渐进线$

出现在：无定义点 || 开区间端点

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水平渐近线

$若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，则称y=A为f(x)的一条水平渐进线$

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斜渐近线

$若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,则称y=ax+b为f(x)的一条斜渐进线$

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曲率与曲率半径

曲率：$k = \frac{|y''|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}$
曲率半径：$R = \frac{1}{k} = \frac{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}{|y''|}$

弧微分

直角坐标系下的弧微分公式：$L:\ y=f(x)$

\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}
= \sqrt{1 + {\frac{dy}{dx}^2}}dx
= \sqrt{1+f^{'2}(x)}dx
\]

参数方程下的弧微分公式：$ L:\ \begin{cases}

x = \varphi(t) \

y = \varphi(t)

\end{cases}$

\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}
= \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt
= \sqrt{\varphi ^{'2}(t) = \varphi ^{'2}(t)}dt
\]

函数的最值的求法

$

对于函数f(x)，在[a,b]上找出三类点\begin{cases}

{f}'x=0 \Rightarrow x_0驻点 \

{f}'(x)!\exists \Rightarrow不可导点 \

端点a,b

\end{cases}

$

$比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值为最大(最小)值$
$若在I上求出唯一极大(极小)值点，则由实际背景确定最大(小)值$

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巴特西

[数学]高数部分-Part III 中值定理与一元微分学应用