CF1153F Serval and Bonus Problem 【期望】
题目链接:洛谷
作为一只沉迷数学多年的蒟蒻OIer,在推柿子和dp之间肯定要选推柿子的!
首先假设线段长度为1,最后答案乘上$l$即可。
对于$x$这个位置,被区间覆盖的概率是$2x(1-x)$(线段端点分别在$x$的两边),不被区间覆盖的概率为$1-2x(1-x)$。
$$Ans=\sum_{i=k}^n {n\choose i}\int_{0}^1(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i}dx$$
$$=\sum_{i=k}^n {n\choose i}\int_{0}^1(2x(1-x))^i\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j{n-i\choose j}(2x(1-x))^jdx$$
$$=\sum_{i=k}^n{n\choose i}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j2^{i+j}{n-i\choose j}\int_0^1x^{i+j}(1-x)^{i+j}dx$$
$$F_i=\int_0^1x^i(1-x)^idx$$
$$=\int_0^1x^i\sum_{j=0}^i(-1)^j{i\choose j}x^jdx$$
$$=\sum_{j=0}^i(-1)^j{i\choose j}\int_0^1x^{i+j}dx$$
$$=\sum_{j=0}^i(-1)^j{i\choose j}\frac{1}{i+j+1}$$
预处理$F_i$之后计算,时间复杂度$O(n^2)$。
#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = , mod = ;
int fac[N], inv[N], invfac[N], po[N];
inline void init(int m){
fac[] = ;
for(Rint i = ;i <= m;i ++) fac[i] = (LL) i * fac[i - ] % mod;
inv[] = ;
for(Rint i = ;i <= m;i ++) inv[i] = (LL) (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
invfac[] = ;
for(Rint i = ;i <= m;i ++) invfac[i] = (LL) invfac[i - ] * inv[i] % mod;
po[] = ;
for(Rint i = ;i <= m;i ++) po[i] = (po[i - ] << ) % mod;
}
inline int C(int n, int m){
if(n < m || m < ) return ;
return (LL) fac[n] * invfac[n - m] % mod * invfac[m] % mod;
}
int n, k, l, ans, f[N];
int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &k, &l);
init(n << | );
for(Rint i = k;i <= n;i ++)
for(Rint j = ;j <= i;j ++){
int t = (LL) C(i, j) * inv[i + j + ] % mod;
if(j & ) f[i] = (f[i] + mod - t) % mod; else f[i] = (f[i] + t) % mod;
}
for(Rint i = k;i <= n;i ++){
int t1 = ;
for(Rint j = ;j <= n - i;j ++){
int t2 = (LL) po[i + j] * C(n - i, j) % mod * f[i + j] % mod;
if(j & ) t1 = (t1 + mod - t2) % mod; else t1 = (t1 + t2) % mod;
}
ans = (ans + (LL) t1 * C(n, i) % mod) % mod;
}
printf("%d", (LL) l * ans % mod);
}
CF1153F
据说这个式子还可以用NTT优化到$O(n\log n)$?有兴趣的各位可以思考一下反正我是没兴趣了
upd(2019-10-18):
貌似有一个东西叫做Beta Function.
$$\begin{aligned}\Beta(x,y)&=\int_0^1t^x(1-t)^y\mathrm{d}t & (x,y\in \R_+)\\ \Gamma(z)&=\int_0^{+\infty}x^{z-1}e^{-x}\mathrm{d}x & (\Re(z)>0)\end{aligned}$$
有一些不知道为什么的结论。
$$\begin{aligned}\Gamma(n)&=(n-1)! & (n\in \N_+) \\ \Beta(x,y)&=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\end{aligned}$$
于是上面的$F_i$直接就做完了。稍微化化就可以用NTT来做了。
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