[BJWC2008]王之财宝

嘟嘟嘟

如果没有限制，而且必须选\(m\)件的话，就是隔板法\(C_{n + m - 1} ^ {m - 1}\)了。现在要选至多\(m\)件，那么就相当于新增一个板儿，分出的新的盒子表示“多出来的”，也就是说前\(m\)个盒子是选出来的宝具，这样就能满足至多\(m\)个的限制了，即\(C_{n + m} ^ {m}\)。

从公式这一角度来说，就是\(\sum _ {i = 0} ^ {n} C_ {i + m - 1} ^ {m - 1} = C_{n + m} ^ {m}\)，至于证明，在我的另一篇博客上有，题解：bzoj4403 序列统计。

现在我们加上了\(T\)这个限制。我一直在想，\(T\)这么小，显然可以\(2 ^ T\)暴力枚举，但那又有啥用咧？

后来某大佬的题解告诉我，你怎么就想不到容斥啊？

好像有道理，答案等于至少0个神器超过限制的方案数 - 至少1个神器超过限制方案数 + 至少3个超过限制 - ……而对于每一个方案数，我们先强制让这些神器选\(B_i + 1\)个，然后剩下的随便选，就是\(C_{n + m - \sum(B_i + 1)} ^ {m - \sum (B_i + 1)} = C_{n + m - \sum(B_i + 1)} ^ {n}\)。

最后因为模数小，上lucas。

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<cctype>

#include<vector>

#include<stack>

#include<queue>

#include<assert.h>

using namespace std;

#define enter puts("")

#define space putchar(' ')

#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))

#define In inline

typedef long long ll;

typedef double db;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const db eps = 1e-8;

const int maxn = 1e6 + 5;

In ll read()

{

  ll ans = 0;

  char ch = getchar(), last = ' ';

  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();

  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();

  if(last == '-') ans = -ans;

  return ans;

}

In void write(ll x)

{

  if(x < 0) x = -x, putchar('-');

  if(x >= 10) write(x / 10);

  putchar(x % 10 + '0');

}

In void MYFILE()

{

#ifndef mrclr

  freopen(".in", "r", stdin);

  freopen(".out", "w", stdout);

#endif

}

int n, T, m, mod, b[20];

ll fac[maxn], inv[maxn];

In ll inc(ll a, ll b) {return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;}

In ll C(int n, int m)

{

  if(m > n) return 0;

  return fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod;

}

In ll lucas(int n, int m)

{

  ll ret = 1;

  for(; m; n /= mod, m /= mod)

    ret = ret * C(n % mod, m % mod) % mod;

  return ret;

}

In ll quickpow(ll a, ll b)

{

  ll ret = 1;

  for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)

    if(b & 1) ret = ret * a % mod;

  return ret;

}

In void init()

{

  fac[0] = inv[0] = 1;

  for(int i = 1; i < mod; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;

  inv[mod - 1] = quickpow(fac[mod - 1], mod - 2);

  for(int i = mod - 2; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;

}

int main()

{

  //MYFILE();

  n = read(), T = read(), m = read(), mod = read();

  for(int i = 1; i <= T; ++i) b[i] = read();

  init();

  ll ans = 0;

  for(int i = 0; i < (1 << T); ++i)

    {

      int cnt = 0, tp = m;

      for(int j = 1; j <= T; ++j)

		if((i >> (j - 1)) & 1) ++cnt, tp -= b[j] + 1;

      ans = inc(ans, (cnt & 1) ? mod - lucas(n + tp, n) : lucas(n + tp, n));

    }

  write(ans), enter;

  return 0;

}

巴特西

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