1 Dijkstra算法

1.1 算法基本信息

解决问题/提出背景
- 单源最短路径（在带权有向图中，求从某顶点到其余各顶点的最短路径）
算法思想
- 贪心算法
  - 按路径长度递增的次序，依次产生最短路径的算法
- 【适用范围】Dijkstra算法仅适用于【权重为正】的图模型中
时间复杂度
- O(n^3)
补充说明
- 亦可应用于【多源最短路径】(推荐：Floyd算法(动态规划,O(n^3)))
  - Dijkstra 时间复杂度：O(n^3)

1.2 算法描述

1.2.1 求解过程(具体思路)

1.2.2 示例

1.2 编程复现

1> 定义图模型(邻接矩阵表示法)的【基本存储结构体】

# define MaxInt 32767 // 表示极大值 即 ∞ (无穷大)

# define MVNum 100 // 最大顶点数 

typedef int VertexType; // 假设顶点的数据类型为整型

typedef int ArcType; // 假设Vi与Vj之边的权值类型为整型 

typedef struct {

 	VertexType vexs[MVNum]; // 顶点表 (存储顶点信息)

	ArcType arcs[MVNum][MVNum]; // 邻接矩阵

	int vexnum,arcnum; // 图的当前顶点数与边数

}AMGraph; // Adjacent Matrix Graph 邻接矩阵图

2> 定义 Dijkstra 算法的【辅助数据结构体】

bool S[MVNum]; // S[i] 记录从源点V0到终点Vi是否已被确定为最短路径长度  【划分确定与未确定: 跟贪心算法的适用范围(不可取消性)有直接联系】

			   // true：表已确定；false：表尚未确定

ArcType D[MVNum]; // D[i] 记录从源点V0到终点Vi的【当前】最短路径【长度】

int Path[MVNum];  // Path[i] 记录从源点V0到终点Vi的【当前】最短路径上【Vi的[直接前驱]的顶点序号】

3> 初始化(邻接矩阵)带权有向图的图模型

void InitAMGraph(AMGraph &G){

	cout<<"Please Input Vertexs Number:";

	cin>>G.vexnum;

	cout<<"\nPlease Directed Edges Number:";

	cin>>G.arcnum;

	for(int i=0;i<MVNum;i++){

		for(int j=0;j<MVNum;j++){

			if(i!=j){ // 【易错】 初始化<Vi, Vj>时: <Vi,Vj> 路径长度无穷大 (i!=j)

				G.arcs[i][j] = MaxInt;

			} else { //  【易错】 初始化<Vi, Vj>时: <Vi,Vi>【自回环】路径长度为0 (i==i)

				G.arcs[i][j] = 0;

			}

		}

	}

	for(int i=0;i<G.vexnum;i++){

		G.vexs[i] = i;

	}

	cout<<"\nPlease Input All Directed Edges and their Weight now:";

	cout<<"\nDirected Edges(i,j,weight): "<<endl;

	int i,j;

	int weight;

	for(int k=0;k<G.arcnum;k++){

//		cout<<"("<<(k+1)<<") ";

		cin>>i;cin>>j;cin>>weight;

		G.arcs[i][j] = weight;

	}

	cout<<endl;

}

4> Dijkstra算法：求解单源最短路径

void ShortestPath_Dijkstra(AMGraph G, int V0){

	//step1 n个顶点依次初始化

	int n =G.vexnum;

	for(int v=0;v<n;v++){

		S[v] = false;

		D[v] = G.arcs[V0][v];

		if(D[v]<MaxInt){

			Path[v] = V0;

		} else {

			Path[v] = -1;

		}

	}

	//step2 将源点V0划入已确定集合S中

	S[V0] = true;

	D[V0] = 0; // 源点V0到源点V0的最短路径长度必然为0

	//step3 贪心算法策略：

	//			3.1 循环遍历所有结点：

	//				3.2 先确定当前最短路径的终点v；

	//				3.3 然后，将v划入已确定集合S中；

	//				3.4 最后，以利用结点v更新所有尚未确定的结点的最短路径

	int v;

	int min;

	D[G.vexnum] = MaxInt;

	for(int i=1;i<n;i++){//3.1循环遍历所有结点 （即 求从源点V0到图中每一顶点(共计n-1个顶点)的最短路径）

		//3.2 确定当前最短路径的终点v；

		min = MaxInt;

		for(int w=0;w<n;w++){

			if(S[w]==false && D[w]<min){//比本轮循环中，已知的最短路径还短 【易错/易漏】 S[w]==false ： 必须满足当前结点 Vw 属于尚未确定的结点

				v = w;

				min = D[w];

			}

		}

		//3.3 然后，将v划入已确定集合S中；

		S[v] = true;

		//3.4 最后，以利用结点v更新所有尚未确定的结点的最短路径

		for(int w=0;w<n;w++){

			//↓更新Vw结点的最短路径长度为 D[v] + G.arcs[v][w]

			//cout<<"S["<<w<<"]:"<<S[w]<<"D["<<v<<"]"<<D[v]<<"G.arcs["<<v<<"]["<<w<<"]"<<"D["<<w<<"]"<<D[w]<<endl;

			if(S[w]==false && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])){//【易错/易漏】 S[w]==false ： 必须满足当前结点 Vw 属于尚未确定的结点

				D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];

				Path[w] = v; // 更新 结点Vw的前驱为 v

			}

		}

		v = G.vexnum;

	}

}

5> 输出结果 D[i]、Path[j]

void OutputD(AMGraph G, int V0){

	cout<<"Shortest Distance Weight of the Pair of Directed Vertices("<<V0<<", j):"<<endl;

	for(int j=0;j<G.vexnum;j++){

		cout<<D[j]<<"\t";

	}

	cout<<endl;

}

void OutputPath(AMGraph G,int V0){

	cout<<"Shortest Distance Path("<<V0<<",j) of the Pair of Directed Vertices:"<<endl;

	for(int j=0;j<G.vexnum;j++){

		cout<<Path[j]<<"\t";

	}

	cout<<endl;

}

6> 执行：Main函数

int main(){

	int V0; //源点V0的下标

	AMGraph G;

	InitAMGraph(G);

	cout<<"Please Input the Index of Source Node 'V0':";

	cin>>V0;

	ShortestPath_Dijkstra(G, V0);

	OutputD(G, V0);

	OutputPath(G, V0);

	return 0;

}

7> Test: Output of Main

Please Input Vertexs Number:6

Please Directed Edges Number:8

Please Input All Directed Edges and their Weight now:

Directed Edges(i,j,weight):

1 2 5

0 2 10

3 5 10

4 3 20

0 4 30

2 3 50

4 5 60

0 5 100

Please Input the Index of Source Node 'V0':0

Shortest Distance Weight of the Pair of Directed Vertices(0, j):

0       32767   10      50      30      60

Shortest Distance Path(0,j) of the Pair of Directed Vertices:

0       -1      0       4       0       3

2 参考文献

《数据结构(C语言版/ 严蔚敏李冬梅吴伟民编)》

巴特西

[C++]单源最短路径：迪杰斯特拉(Dijkstra)算法(贪心算法)

1 Dijkstra算法

1.1 算法基本信息

1.2 算法描述

1.2 编程复现

2 参考文献

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