Stern-Brocot Tree、伪.GCD 副本

2024-10-07 21:40:25

Stern-Brocot Tree、伪.GCD 副本

伪.GCD

问题 1：\(f(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n} [\frac{ai+b}{c}]\)

Case 1: \(a\geq c 或 b\geq c\)：\(f(a,b,c,n) = f(a\%c,b\%c,c,n)+(n+1)[\frac{b}{c}] + \frac{n(n+1)}{2}[\frac{a}{c}]\)
Case 2: 令 \(m=[\frac{an+b}{c}]\), 有 $f(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[[\frac{ai+b}{c}] \geq j] = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[[\frac{ai+b}{c}] \geq j+1] = $
\(= \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai > cj+c-b-1]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1} m - [\frac{cj+c-b-1}{a}]\)
\(= nm - f(c,c-b-1,a,m-1)\)

问题 2：求 \(\frac{a}{b}<\frac{x}{y}<\frac{c}{d}\)，的最小正整数解 \(y\).

Case 1:

Stern-Brocot Tree

提问：xxxxxx 问题的答案是 \(\frac{p}{q}\) (\(p \leq 10^6, q \leq 10^5\))，怎么二分？

我觉得我可以二分一个实数 ........ 然后 ....... 睡觉。

做法 solve(a,b,c,d) 在 \([\frac{a}{b},\frac{c}{d}]\) 中寻找答案。

check 一下 \(\frac{a+c}{b+d}\)。
小了的话，沿着 SB 树向右下方突突突。二分求出极小的 \(k\)，使得 \(\frac{a+kc}{b+kd}\) 大于等于正确答案。solve(a,b,a+kc,b+kd)
大了的话，沿着 SB 树向右下方突突突。二分求出极小的 \(k\)，使得 \(\frac{ka+c}{kb+d}\) 小于等于正确答案。solve(ka+c,kb+d,c,d)
二分次数是 log 级别的，不会证明。

练习

It's a Mod, Mod, Mod, Mod World

做法

\(\sum_{i=1}^{n} pi\%q = \sum_{i=1}^{n}(pi-q[\frac{pi}{q}]) = \frac{pn(n+1)}{2} - q\sum_{i=1}^{n}[\frac{pi}{q}]\)

Rikka with Ants

做法

对于直线 \(y=\frac{a}{b}x\)，点 \((x,y)\) 在路径上，那么 \(\frac{y}{x} \leq \frac{a}{b}, \frac{y+1}{x-1}>\frac{a}{b}\)
化简一下 \(\frac{a(x-1) - b}{b}< y \leq \frac{ax}{b}\)
不妨设 \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\)，那么有 \(\frac{c(x-1)-d}{d} <y \leq \frac{ax}{b}\)
\(ans=\sum_{x=1}^{n} [\frac{ax}{b}] - \sum_{x=1}^{n}[\frac{cx-(c+d)}{d}]\)

做法

逐位考虑，考虑第 \(b\) 位，我们想知道多少个 \(k\) 使得 \(km\) 在这位上为 1，即 \(km\%(2^b) \geq 2^{b-1}\)。
\(ans = \frac{[\sum{km\%2^b}] - [\sum km\%2^{b-1}]}{2^{b-1}}\)

太难了

把多边形剖成若干个梯形。
不会剖简单多边形，被搞得自闭了。

probedroids

做法

用「伪.gcd」check 答案
SB 树上二分即可。

HDU6624: fraction

题意

给 \(x,p\) 求极小的 \(a\) 使得 \(ax\%p<a\)

做法

只需寻找最小的 \(k\)，使得 \(kp \leq ax<kp+a\)。
\(\frac{p}{x} \leq \frac{a}{k} < \frac{p}{x-1}\)。

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