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在N行M列的棋盘上，放若干个炮可以是0个，使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。请问有多少种放置方法？中国象棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.

analysis

\(DP\)，容易知道每行至多有两个炮，否则会互相打到
设\(f[i][j][k]\)表示到放到第\(i\)行，有\(j\)列放了一个炮，\(k\)列放了两个炮的方案数
该行不放炮，则直接继承上一行的答案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]
\]

一个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数\(+1\)，且有\(m-k-(j-1)\)个没有炮的列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*[m-k-(j-1)]
\]

一个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数\(-1\)，两个炮的列数\(+1\)，且有\(j+1\)个一个炮的列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)
\]

一个炮放在一个炮的列上，一个炮放在没有炮的列上，两个炮的列数\(+1\)，且分别有\(j\)列、\(m-(k-1)-j\)列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*[m-(k-1)-j]
\]

两个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数\(+2\)，且有\(C^{2}_{m-(j-2)-k}\)种方案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C^{2}_{m-(j-2)-k}
\]

两个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数\(-2\)，两个炮的列数\(+2\)，且有\(C^{2}_{j+2}\)种方案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C^{2}_{j+2}
\]

如此转移即可，注意判断边界

code

#pragma GCC optimize("O3")

#pragma G++ optimize("O3")

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

#define MAXN 105

#define ha 9999973

#define ll long long

#define reg register ll

#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)

#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAXN][MAXN][MAXN];

ll c[MAXN][MAXN];

ll n,m,ans;

inline ll read()

{

	ll x=0,f=1;char ch=getchar();

	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

	return x*f;

}

inline ll C(ll n){return n*(n-1)/2;}

int main()

{

	n=read(),m=read(),f[0][0][0]=1;

	fo(i,1,n)

	{

		fo(j,0,m)

		{

			fo(k,0,m-j)

			{

				f[i][j][k]=f[i-1][j][k];//不填

				if (k-1>=0)

					(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%ha)%=ha;//一颗填一个炮的列

				if (j-1>=0)

					(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k))%=ha;//一颗填没有炮的列

				if (k-1>=0)

					(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j%ha*(m-j-(k-1)))%=ha;//一颗填一个炮的列,一颗填没有炮的列

				if (j-2>=0)

					(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-(j-2)-k))%=ha;//两颗填没有炮的列

				if (k-2>=0)

					(f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=ha;//两颗填一个炮的列

			}

		}

	}

	fo(i,0,m)fo(j,0,m-i)(ans+=f[n][i][j])%=ha;

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}

巴特西

【JZOJ1667】【BZOJ1801】【luoguP2051】中国象棋

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