1545 找出第N个二进制字符串的第K位 #分治

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题意

给定正整数$n(\leq 20)$与$k$，二进制串$S_n$形成规则有：

$S_1 = “0”$
当$i>1$时，$S_i = S_{i-1}+“1”+reverse(invert(S_{i-1}))$

其中$reverse(x)$表示左右反转字符串x，$invert(x)$表示翻转x中的每一位(0->1，1->0)

现要返回$S_n$的第$k$位字符。

如：$n=3,k=1$，可以得到$S_3=“0111001”$，其第一位为"0"，故返回"0"

分析

本来想打表，但最后的串实在是长。我们不必从n=1一步步模拟整个过程，而是自顶而下深入递归，只关心第$k$位属于上一步形成的01串的哪个位置哪个字符。

我们容易推出，对于$S_n$形成的串为$2^n-1$长度的01串，我们比较$k$与$2^{n-1}$的大小：

如果$k=2^{n-1}$，它在串最中间，字符为"1"，直接返回即可
如果$k<2^{n-1}$，它在当前串的左部分，由串的形成规则可知，串左部分是经上一轮的串直接复制得到的，那么递归$n-1$次操作的第$k$位即可
如果$k>2^{n-1}$，由串的形成规则，串右部分是经过上一轮串的反转+翻转得到的，那么当前的第k位是由上一轮的$2^n-1-k+1$位置得到的，当然别忘了对返回结果的字符进行取反操作！

class Solution {

public:

    char Trans(char now) {

        return (now == '1') ? '0' : '1';

    }

    char findKthBit(int n, int k) {

        if (n == 1) return '0';

        int len = 1 << (n - 1);

        if (k == len) return '1';

        else if (k < len) return findKthBit(n - 1, k);

        else {

            return Trans(findKthBit(n - 1, (len << 1) - k));

        }

    }

};

1546 和为目标值的最大数目不重叠非空子数组数目 #前缀和 #哈希表 #线性DP

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题意

给定数组 nums(长度不大于$1e5$) 和一个整数 target 。现要返回 非空不重叠 子数组的最大数目，且每个子数组中数字和都为 target 。

样例

nums = [-1,3,5,1,4,2,-9], target = 6，总共有 3 个子数组和为 6 。 $([5,1], [4,2], [3,5,1,4,2,-9]) $但只有前 2 个是不重叠的。

分析

dp[i]表示前i位满足要求的子数组个数；sum表示[1, size]的前缀和(先假定从1计数)

当$i>0$显然dp[0] = 0；当$i>0$时，有两种情况：

存在这样的$pos(\leq i) st.sum[i]-sum[pos]==target$，
- 我们找到$[pos, i]$的合法子数组，于是dp[i] 可以由dp[pos]+1转移
- [pos, i]的子数组长度可能太长，以至于覆盖了该区间的几个合法子数组，那么dp[i]也可以由dp[i-1]转移
即得到转移方程：$dp[i] = max(dp[i-1], dp[pos]+1)$
不存在这样的$pos$，显然转移方程只能为$dp[i] = dp[i-1]$

class Solution {

private:

    int dp[100005] = {0};

public:

    int maxNonOverlapping(vector<int>& nums, int target) {

        map<int, int> mymap;

        int sum = 0; mymap[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) {

            sum += nums[i - 1];

            if (mymap.count(sum - target)) { //是否存在sum[pos]满足sum[i]-sum[pos]=target

                int pos = mymap[sum - target];

                dp[i] = max(dp[i - 1], dp[pos] + 1);

            }

            else {

                dp[i] = dp[i - 1];

            }

            mymap[sum] = i; //记录前缀和sum的最新位置

        }

        return dp[nums.size()];

    }

};

1547 切棍子的最小成本 #区间DP

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题意

给定长度为$n$个单位的木棍，及记录你要将棍子切开的位置数组$cuts[i]$，现要你按$cuts[i]$记录的位置按一定顺序切割木棍，使得成本最小，并求其值。其中每次切割的成本是当前要切割的棍子的长度。

分析

显然是石子合并的变式，区间DP题，不过我们需要预处理下每个切割位置之间的长度(该位置的序号-前一位置的序号)，同时将代价数组sum[]从1计数，便于DP

class Solution {

private:

    int sum[105] = { 0 };

    int dp[105][105];

public:

    int cost(int lo, int hi) {

        return sum[hi] - sum[lo];

    }

    void Init(int maxlen, vector<int>& cuts, int n) {

        sort(cuts.begin(), cuts.end());

        for (int i = 1; i <= maxlen; i++)

            for (int j = 1; j <= maxlen; j++)

                dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;

        sum[1] = cuts[0]; dp[1][1] = dp[maxlen][maxlen] = 0;

        for (int i = 2; i <= cuts.size(); i++) {

            dp[i][i] = 0;

            sum[i] = sum[i - 1] + cuts[i - 1] - cuts[i - 2];

        }

        sum[maxlen] = sum[maxlen - 1] + n - cuts[cuts.size() - 1];

    }

    int minCost(int n, vector<int>& cuts) {

        int maxlen = cuts.size() + 1;

        Init(maxlen, cuts, n);

        for (int len = 2; len <= maxlen; len++) {

            for (int i = 1; i + len - 1 <= maxlen; i++) {

                int j = i + len - 1;

                for (int k = i; k < j; k++)

                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost(i - 1, j));

            }

        }

        return dp[1][maxlen];

    }

};

巴特西

Leetcode 周赛#201 题解

1545 找出第N个二进制字符串的第K位 #分治

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1546 和为目标值的最大数目不重叠非空子数组数目 #前缀和 #哈希表 #线性DP

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样例

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1547 切棍子的最小成本 #区间DP

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