力扣51. N 皇后(回溯法)
2024-10-21 12:41:51
按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n
个皇后放置在 n×n
的棋盘上,并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n
,返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案,该方案中 'Q'
和 '.'
分别代表了皇后和空位。
示例 1:
输入:n = 4
输出:[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释:如上图所示,4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2:
输入:n = 1
输出:[["Q"]]
提示:
1 <= n <= 9
经典的回溯法问题,类似的需要回溯法的还有排列组合问题,一般是DFS+回溯来实现一个暴力搜索。
N皇后问题的有两个核心,一个是回溯,一个是对4个限定条件的判断(行、列、两条对角线)
1.回溯核心逻辑
void backtracking(element length,element end,element result,element set,int startIndex,...)
{
if(终止条件==end){
result.add(set); //将当前集合加到结果集中
for(i=startIndex;i<length;++i){
更新当前集合set;
backtracking(length,end,result,set,...); //往下一层遍历
还原当前集合set;
}
}
2.由于棋盘每行每列都会有一个皇后,我们可以选择一行一行确定或者一列一列遍历,这边我选择一行一行遍历。如果一行一行遍历,那么我们在遍历的过程中只需要记录列的皇后放置信息(因为每行放置了皇后之后就会进入下一层遍历,不会在该层停留,即已经确保了同一行只有一个皇后)、主对角线、副对角线的信息。
(0,0) | (0,1) | (0,2) | (0,3) |
(1,0) | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
(2,0) | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
(3,0) | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
在一个棋盘上,假设某点坐标为( i , j )我们可以明显看出同一主对角线上i - j的值相同(注意不是|i - j|相同),同一副对角线上的i + j相同,据此我们可以用三个数组来快速判断某个位置能不能放入皇后。
1 class Solution {
2 public:
3 vector<int> column,ldiagonal,rdiagonal;
4 vector<vector<string>> result;
5 void backtracking(int n,vector<string> mmap,int row){
6 if (row==n){ //棋盘内已有n个皇后
7 result.push_back(mmap);
8 return;
9 }
10
11 for (int j=0;j<n;++j){
12 if (column[j]==0&&ldiagonal[row+j]==0&&rdiagonal[row-j+n-1]==0){
13 // cout<<row<<" and "<<j<<endl;
14 // cout<<row-j+n-1<<" "<<abs(row-j)<<endl;
15 mmap[row][j]='Q';
16 column[j]=1;
17 ldiagonal[row+j]=1;
18 rdiagonal[row-j+n-1]=1;
19 backtracking(n,mmap,row+1);
20 //回溯
21 rdiagonal[row-j+n-1]=0;
22 ldiagonal[row+j]=0;
23 column[j]=0;
24 mmap[row][j]='.';
25 }
26 }
27 return;
28 }
29 vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
30 //初始化
31 vector<string> initial;
32 for (int i=0;i<n;++i){
33 string temp;
34 for (int j=0;j<n;++j){
35 temp.push_back('.');
36 }
37 initial.push_back(temp);
38 }
39 for (int i=0;i<25;++i){
40 column.push_back(0);
41 rdiagonal.push_back(0);
42 ldiagonal.push_back(0);
43 }
44
45 backtracking(n,initial,0);
46
47 return result;
48 }
49 };
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