ACwing02.01背包问题
2024-10-16 10:40:45
有\(N\)件物品和一个容量是\(V\)的背包。每件物品只能使用一次。
第\(i\)件物品的体积是\(v_i\),价值是\(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,\(N\),\(V\),用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 \(N\) 行,每行两个整数 \(v_i\),\(w_i\),用空格隔开,分别表示第 \(i\) 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
\(0<N,V≤1000\)
\(0<v_i,w_i≤1000\)
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
思路:
借助闫式DP分析法、把这个问题从集合的角度来分析,将问题分成状态表示和状态计算。
状态表示:
本题的状态可以用f(i, j)来表示、这表示的是从前\(i\)个物品中选、选出物体的总体积小于等于\(j\)的物品。
状态计算:
那么、借助\(f(i, j)\)、可以在集合的角度将问题一分为二来看、即所有不含\(i\)的物品和含\(i\)的物品。
不含\(i\):即、从1、2···i-1、中选、选出物体的总价值不大于\(j\)的物品、故容易表示为\(f(i,j) = f(i - 1, j)\)。
含\(i\)的物品:这里我们不好直接求到这个状态、可以先减去所有不含\(i\)的、再将权重加回去、此时可以得到状态\(f(i - 1, j - v_i) + w_i\)。(不一定存在、\(j >= v_i\) 时存在)
代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N][N]; // 状态数组
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
// 从第一件物品开始选、价值可以为0
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++ )
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i])
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
// 从前n个物品中选、总价值不超过m即为所求
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
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