BZOJ1856[Scoi2010]字符串——组合数学+容斥
2024-09-09 20:49:06
题目描述
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
输入
输入数据是一行,包括2个数字n和m
输出
输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数
样例输入
2 2
样例输出
2
提示
【数据范围】
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000
将选$1$看成往右走,选$0$看成往上走,那么要求的就是从$n*m$的网格的左下角走到右上角且不能穿过$y=x$的方案数。
将不能穿过$y=x$看成不能走到$y=x+1$,答案就是总方案数(即没有不能穿过$y=x$限制的方案数)-走到$y=x+1$的方案数。
将起点关于$y=x+1$对称到$(-1,1)$,那么走到$y=x+1$的方案数就是从$(-1,1)$走到$(n,m)$只能往右和往上走的方案数。
最终答案就是$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$,注意当$n<m$时答案为$0$。
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=20100403;
int n,m;
int fac[2000010];
int inv[2000010];
int C(int n,int m)
{
return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=1;
for(int i=2;i<=n+m;i++)
{
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
for(int i=2;i<=n+m;i++)
{
inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
if(n>=m)
{
printf("%d",(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+mod)%mod);
}
else
{
printf("0");
}
}
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