【LOJ】#6433. 「PKUSC2018」最大前缀和

题解

神仙的状压啊QAQ

设一个\(f[S]\)表示数字的集合为\(S\)时\(sum[S]\)为前缀最大值的方案数

\(g[S]\)表示数字集合为\(S\)时所有前缀和都小于等于0的方案数

答案就是\(sum_{S} sum[S] * f[S] * g[2^{N} - 1 - S]\)

求\(f\)每次相当于往前面插入一个数，如果\(sum[S] > 0\)就更新

\(f[S \^ (1 << i - 1)] += f[S] (sum[S] > 0)\)

求\(g\)只要每次看看更新的集合总和是不是合法就行了

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first

#define se second

#define pii pair<int,int>

#define pdi pair<db,int>

#define mp make_pair

#define pb push_back

#define enter putchar('\n')

#define space putchar(' ')

#define eps 1e-8

#define mo 974711

#define MAXN 100005

//#define ivorysi

using namespace std;

typedef long long int64;

typedef double db;

template<class T>

void read(T &res) {

    res = 0;char c = getchar();T f = 1;

    while(c < '0' || c > '9') {

	if(c == '-') f = -1;

	c = getchar();

    }

    while(c >= '0' && c <= '9') {

	res = res * 10 + c - '0';

	c = getchar();

    }

    res *= f;

}

template<class T>

void out(T x) {

    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}

    if(x >= 10) {

	out(x / 10);

    }

    putchar('0' + x % 10);

}

const int MOD = 998244353;

int N;

int A[25],sum[(1 << 20) + 5],pos[(1 << 20) + 5],f[(1 << 20) + 5],g[(1 << 20) + 5],ans;

int inc(int a,int b) {

    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;

}

int mul(int a,int b) {

    return 1LL * a * b % MOD;

}

int lowbit(int x) {

    return x & (-x);

}

void update(int &x,int y) {

    x = inc(x,y);

}

void Solve() {

    read(N);

    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) read(A[i]);

    for(int i = 0 ; i < N ; ++i) pos[1 << i] = i + 1;

    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {

	sum[S] = sum[S ^ lowbit(S)] + A[pos[lowbit(S)]];

    }

    g[0] = 1;

    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {

	f[1 << i - 1] = 1;

    }

    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {

	if(sum[S] > 0) {

	    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {

		if(!(S >> (i - 1) & 1)) {

		    update(f[S ^ (1 << i - 1)],f[S]);

		}

	    }

	}

	else {

	    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {

		if(S >> (i - 1) & 1) {

		    update(g[S],g[S ^ (1 << i - 1)]);

		}

	    }

	}

    }

    for(int S = 1 ; S < (1 << N) ; ++S) {

	int t = mul(f[S],g[(1 << N) - 1 - S]);

	t = mul(t,inc(MOD,sum[S]));

	update(ans,t);

    }

    out(ans);enter;

}

int main() {

#ifdef ivorysi

    freopen("f1.in","r",stdin);

#endif

    Solve();

}

巴特西

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